Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55523 / 14677
↖ ↑ ↗
← N 80.017662°
W 27.501526°		 ← 52.94 m → N 80.017662°
W 27.498779°		 →
↑
52.94 m
↓
↑
52.94 m
↓
N 80.017186°
W 27.501526°		 ← 52.95 m →
2 803 m²		 N 80.017186°
W 27.498779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423610687255859 y=0.111980438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423610687255859 × 217)
    floor (0.423610687255859 × 131072)
    floor (55523.5)     		tx = 55523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111980438232422 × 217)
    floor (0.111980438232422 × 131072)
    floor (14677.5)     		ty = 14677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55523 / 14677 ti = "17/55523/14677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55523/14677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55523 ÷ 217
    55523 ÷ 131072     		x = 0.423606872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14677 ÷ 217
    14677 ÷ 131072     		y = 0.111976623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423606872558594 × 2 - 1) × π
    -0.152786254882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.47999218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111976623535156 × 2 - 1) × π
    0.776046752929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.43802277777644
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47999218} λ = -0.47999218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43802277777644))-π/2
    2×atan(11.45037840329)-π/2
    2×1.48368399176014-π/2
    2.96736798352028-1.57079632675     		φ = 1.39657166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47999218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.501526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39657166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.017662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55523 KachelY 14677 -0.47999218 1.39657166 -27.501526 80.017662
    Oben rechts KachelX + 1 55524 KachelY 14677 -0.47994424 1.39657166 -27.498779 80.017662
    Unten links KachelX 55523 KachelY + 1 14678 -0.47999218 1.39656335 -27.501526 80.017186
    Unten rechts KachelX + 1 55524 KachelY + 1 14678 -0.47994424 1.39656335 -27.498779 80.017186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39657166-1.39656335) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dl = 52.9430099993651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39657166-1.39656335) × R
    8.30999999990034e-06 × 6371000     		dr = 52.9430099993651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47999218--0.47994424) × cos(1.39657166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173344594154713 × 6371000     		do = 52.9439009446682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47999218--0.47994424) × cos(1.39656335) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.173352778345588 × 6371000     		du = 52.9464006072225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39657166)-sin(1.39656335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173344594154713-0.173352778345588)×R²
    abs(-0.47994424--0.47999218)×8.18419087517119e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.18419087517119e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.18419087517119e-06×40589641000000     		ar = 2803.07564705188m²