Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55522 / 44566
↖ ↑ ↗
← N 49.798996°
W 27.504272°		 ← 197.10 m → N 49.798996°
W 27.501526°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.797223°
W 27.504272°		 ← 197.11 m →
38 853 m²		 N 49.797223°
W 27.501526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423603057861328 y=0.340015411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423603057861328 × 217)
    floor (0.423603057861328 × 131072)
    floor (55522.5)     		tx = 55522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340015411376953 × 217)
    floor (0.340015411376953 × 131072)
    floor (44566.5)     		ty = 44566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55522 / 44566 ti = "17/55522/44566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55522/44566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55522 ÷ 217
    55522 ÷ 131072     		x = 0.423599243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44566 ÷ 217
    44566 ÷ 131072     		y = 0.340011596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423599243164062 × 2 - 1) × π
    -0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340011596679688 × 2 - 1) × π
    0.319976806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00523678503258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48004011} λ = -0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00523678503258))-π/2
    2×atan(2.7325542241697)-π/2
    2×1.2199763829322-π/2
    2.43995276586441-1.57079632675     		φ = 0.86915644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86915644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.798996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55522 KachelY 44566 -0.48004011 0.86915644 -27.504272 49.798996
    Oben rechts KachelX + 1 55523 KachelY 44566 -0.47999218 0.86915644 -27.501526 49.798996
    Unten links KachelX 55522 KachelY + 1 44567 -0.48004011 0.86912550 -27.504272 49.797223
    Unten rechts KachelX + 1 55523 KachelY + 1 44567 -0.47999218 0.86912550 -27.501526 49.797223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86915644-0.86912550) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86915644-0.86912550) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48004011--0.47999218) × cos(0.86915644) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645471075054483 × 6371000     		do = 197.10235778504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48004011--0.47999218) × cos(0.86912550) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64549470624462 × 6371000     		du = 197.109573853232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86915644)-sin(0.86912550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645471075054483-0.64549470624462)×R²
    abs(-0.47999218--0.48004011)×2.36311901370412e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36311901370412e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36311901370412e-05×40589641000000     		ar = 38853.2796319669m²