Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55522 / 44562
↖ ↑ ↗
← N 49.806087°
W 27.504272°		 ← 197.07 m → N 49.806087°
W 27.501526°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 49.804314°
W 27.504272°		 ← 197.08 m →
38 848 m²		 N 49.804314°
W 27.501526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423603057861328 y=0.339984893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423603057861328 × 217)
    floor (0.423603057861328 × 131072)
    floor (55522.5)     		tx = 55522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339984893798828 × 217)
    floor (0.339984893798828 × 131072)
    floor (44562.5)     		ty = 44562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55522 / 44562 ti = "17/55522/44562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55522/44562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55522 ÷ 217
    55522 ÷ 131072     		x = 0.423599243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44562 ÷ 217
    44562 ÷ 131072     		y = 0.339981079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423599243164062 × 2 - 1) × π
    -0.152801513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48004011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339981079101562 × 2 - 1) × π
    0.320037841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00542853263106
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48004011} λ = -0.48004011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00542853263106))-π/2
    2×atan(2.73307823511721)-π/2
    2×1.22003826216504-π/2
    2.44007652433008-1.57079632675     		φ = 0.86928020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48004011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.504272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86928020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.806087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55522 KachelY 44562 -0.48004011 0.86928020 -27.504272 49.806087
    Oben rechts KachelX + 1 55523 KachelY 44562 -0.47999218 0.86928020 -27.501526 49.806087
    Unten links KachelX 55522 KachelY + 1 44563 -0.48004011 0.86924926 -27.504272 49.804314
    Unten rechts KachelX + 1 55523 KachelY + 1 44563 -0.47999218 0.86924926 -27.501526 49.804314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86928020-0.86924926) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dl = 197.118739999515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86928020-0.86924926) × R
    3.09399999999238e-05 × 6371000     		dr = 197.118739999515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48004011--0.47999218) × cos(0.86928020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645376544115173 × 6371000     		do = 197.073491625514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48004011--0.47999218) × cos(0.86924926) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645400177776769 × 6371000     		du = 197.080708448396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86928020)-sin(0.86924926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645376544115173-0.645400177776769)×R²
    abs(-0.47999218--0.48004011)×2.36336615966337e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36336615966337e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36336615966337e-05×40589641000000     		ar = 38847.5896451972m²