Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55521 / 42934
↖ ↑ ↗
← N 52.606384°
W 27.507019°		 ← 185.48 m → N 52.606384°
W 27.504272°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
N 52.604716°
W 27.507019°		 ← 185.49 m →
34 400 m²		 N 52.604716°
W 27.504272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423595428466797 y=0.327564239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423595428466797 × 217)
    floor (0.423595428466797 × 131072)
    floor (55521.5)     		tx = 55521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327564239501953 × 217)
    floor (0.327564239501953 × 131072)
    floor (42934.5)     		ty = 42934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55521 / 42934 ti = "17/55521/42934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55521/42934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55521 ÷ 217
    55521 ÷ 131072     		x = 0.423591613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42934 ÷ 217
    42934 ÷ 131072     		y = 0.327560424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423591613769531 × 2 - 1) × π
    -0.152816772460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48008805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327560424804688 × 2 - 1) × π
    0.344879150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08346980521251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48008805} λ = -0.48008805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08346980521251))-π/2
    2×atan(2.95491476234677)-π/2
    2×1.2444754639917-π/2
    2.48895092798341-1.57079632675     		φ = 0.91815460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48008805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.507019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91815460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.606384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55521 KachelY 42934 -0.48008805 0.91815460 -27.507019 52.606384
    Oben rechts KachelX + 1 55522 KachelY 42934 -0.48004011 0.91815460 -27.504272 52.606384
    Unten links KachelX 55521 KachelY + 1 42935 -0.48008805 0.91812549 -27.507019 52.604716
    Unten rechts KachelX + 1 55522 KachelY + 1 42935 -0.48004011 0.91812549 -27.504272 52.604716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91815460-0.91812549) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91815460-0.91812549) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48008805--0.48004011) × cos(0.91815460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60728732747942 × 6371000     		do = 185.481181387902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48008805--0.48004011) × cos(0.91812549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607310454601441 × 6371000     		du = 185.48824500626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91815460)-sin(0.91812549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60728732747942-0.607310454601441)×R²
    abs(-0.48004011--0.48008805)×2.3127122020794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3127122020794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3127122020794e-05×40589641000000     		ar = 34399.9596700678m²