Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55519 / 42785
↖ ↑ ↗
← N 52.854206°
W 27.512512°		 ← 184.39 m → N 52.854206°
W 27.509766°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.852547°
W 27.512512°		 ← 184.40 m →
33 998 m²		 N 52.852547°
W 27.509766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423580169677734 y=0.326427459716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423580169677734 × 217)
    floor (0.423580169677734 × 131072)
    floor (55519.5)     		tx = 55519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326427459716797 × 217)
    floor (0.326427459716797 × 131072)
    floor (42785.5)     		ty = 42785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55519 / 42785 ti = "17/55519/42785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55519/42785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55519 ÷ 217
    55519 ÷ 131072     		x = 0.423576354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42785 ÷ 217
    42785 ÷ 131072     		y = 0.326423645019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423576354980469 × 2 - 1) × π
    -0.152847290039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.48018392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326423645019531 × 2 - 1) × π
    0.347152709960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.0906124032559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48018392} λ = -0.48018392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0906124032559))-π/2
    2×atan(2.97609608553543)-π/2
    2×1.24663811987467-π/2
    2.49327623974934-1.57079632675     		φ = 0.92247991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48018392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.512512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92247991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.854206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55519 KachelY 42785 -0.48018392 0.92247991 -27.512512 52.854206
    Oben rechts KachelX + 1 55520 KachelY 42785 -0.48013599 0.92247991 -27.509766 52.854206
    Unten links KachelX 55519 KachelY + 1 42786 -0.48018392 0.92245097 -27.512512 52.852547
    Unten rechts KachelX + 1 55520 KachelY + 1 42786 -0.48013599 0.92245097 -27.509766 52.852547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92247991-0.92245097) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92247991-0.92245097) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48018392--0.48013599) × cos(0.92247991) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603845275370274 × 6371000     		do = 184.391419092875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48018392--0.48013599) × cos(0.92245097) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.603868343236304 × 6371000     		du = 184.398463143274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92247991)-sin(0.92245097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603845275370274-0.603868343236304)×R²
    abs(-0.48013599--0.48018392)×2.30678660300132e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30678660300132e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30678660300132e-05×40589641000000     		ar = 33998.1381182367m²