Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55518 / 44456
↖ ↑ ↗
← N 49.993615°
W 27.515259°		 ← 196.35 m → N 49.993615°
W 27.512512°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 49.991850°
W 27.515259°		 ← 196.36 m →
38 542 m²		 N 49.991850°
W 27.512512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423572540283203 y=0.339176177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423572540283203 × 217)
    floor (0.423572540283203 × 131072)
    floor (55518.5)     		tx = 55518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339176177978516 × 217)
    floor (0.339176177978516 × 131072)
    floor (44456.5)     		ty = 44456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55518 / 44456 ti = "17/55518/44456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55518/44456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55518 ÷ 217
    55518 ÷ 131072     		x = 0.423568725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44456 ÷ 217
    44456 ÷ 131072     		y = 0.33917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423568725585938 × 2 - 1) × π
    -0.152862548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48023186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33917236328125 × 2 - 1) × π
    0.3216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01050984399078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48023186} λ = -0.48023186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01050984399078))-π/2
    2×atan(2.74700120010316)-π/2
    2×1.22167476078681-π/2
    2.44334952157362-1.57079632675     		φ = 0.87255319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48023186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.515259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87255319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.993615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55518 KachelY 44456 -0.48023186 0.87255319 -27.515259 49.993615
    Oben rechts KachelX + 1 55519 KachelY 44456 -0.48018392 0.87255319 -27.512512 49.993615
    Unten links KachelX 55518 KachelY + 1 44457 -0.48023186 0.87252238 -27.515259 49.991850
    Unten rechts KachelX + 1 55519 KachelY + 1 44457 -0.48018392 0.87252238 -27.512512 49.991850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87255319-0.87252238) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dl = 196.290509999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87255319-0.87252238) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dr = 196.290509999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48023186--0.48018392) × cos(0.87255319) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642872970621692 × 6371000     		do = 196.349952778227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48023186--0.48018392) × cos(0.87252238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642896569938798 × 6371000     		du = 196.357160617118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87255319)-sin(0.87252238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642872970621692-0.642896569938798)×R²
    abs(-0.48018392--0.48023186)×2.35993171061599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35993171061599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35993171061599e-05×40589641000000     		ar = 38542.3397873482m²