Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55517 / 42786
↖ ↑ ↗
← N 52.852547°
W 27.518006°		 ← 184.44 m → N 52.852547°
W 27.515259°		 →
↑
184.44 m
↓
↑
184.44 m
↓
N 52.850889°
W 27.518006°		 ← 184.44 m →
34 018 m²		 N 52.850889°
W 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423564910888672 y=0.326435089111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423564910888672 × 217)
    floor (0.423564910888672 × 131072)
    floor (55517.5)     		tx = 55517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326435089111328 × 217)
    floor (0.326435089111328 × 131072)
    floor (42786.5)     		ty = 42786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55517 / 42786 ti = "17/55517/42786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55517/42786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55517 ÷ 217
    55517 ÷ 131072     		x = 0.423561096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42786 ÷ 217
    42786 ÷ 131072     		y = 0.326431274414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423561096191406 × 2 - 1) × π
    -0.152877807617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48027980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326431274414062 × 2 - 1) × π
    0.347137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09056446635628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48027980} λ = -0.48027980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09056446635628))-π/2
    2×atan(2.97595342413552)-π/2
    2×1.24662364636303-π/2
    2.49324729272607-1.57079632675     		φ = 0.92245097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48027980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.518006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92245097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.852547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55517 KachelY 42786 -0.48027980 0.92245097 -27.518006 52.852547
    Oben rechts KachelX + 1 55518 KachelY 42786 -0.48023186 0.92245097 -27.515259 52.852547
    Unten links KachelX 55517 KachelY + 1 42787 -0.48027980 0.92242202 -27.518006 52.850889
    Unten rechts KachelX + 1 55518 KachelY + 1 42787 -0.48023186 0.92242202 -27.515259 52.850889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92245097-0.92242202) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dl = 184.440450000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92245097-0.92242202) × R
    2.89500000000276e-05 × 6371000     		dr = 184.440450000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48027980--0.48023186) × cos(0.92245097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603868343236304 × 6371000     		do = 184.436935595401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48027980--0.48023186) × cos(0.92242202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603891418567246 × 6371000     		du = 184.44398339543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92245097)-sin(0.92242202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603868343236304-0.603891418567246)×R²
    abs(-0.48023186--0.48027980)×2.30753309420351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30753309420351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30753309420351e-05×40589641000000     		ar = 34018.2813498151m²