Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55517 / 42781
↖ ↑ ↗
← N 52.860839°
W 27.518006°		 ← 184.40 m → N 52.860839°
W 27.515259°		 →
↑
184.38 m
↓
↑
184.38 m
↓
N 52.859181°
W 27.518006°		 ← 184.41 m →
34 000 m²		 N 52.859181°
W 27.515259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423564910888672 y=0.326396942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423564910888672 × 217)
    floor (0.423564910888672 × 131072)
    floor (55517.5)     		tx = 55517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326396942138672 × 217)
    floor (0.326396942138672 × 131072)
    floor (42781.5)     		ty = 42781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55517 / 42781 ti = "17/55517/42781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55517/42781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55517 ÷ 217
    55517 ÷ 131072     		x = 0.423561096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42781 ÷ 217
    42781 ÷ 131072     		y = 0.326393127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423561096191406 × 2 - 1) × π
    -0.152877807617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48027980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326393127441406 × 2 - 1) × π
    0.347213745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.09080415085438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48027980} λ = -0.48027980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09080415085438))-π/2
    2×atan(2.97666679952745)-π/2
    2×1.246696008391-π/2
    2.493392016782-1.57079632675     		φ = 0.92259569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48027980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.518006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92259569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.860839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55517 KachelY 42781 -0.48027980 0.92259569 -27.518006 52.860839
    Oben rechts KachelX + 1 55518 KachelY 42781 -0.48023186 0.92259569 -27.515259 52.860839
    Unten links KachelX 55517 KachelY + 1 42782 -0.48027980 0.92256675 -27.518006 52.859181
    Unten rechts KachelX + 1 55518 KachelY + 1 42782 -0.48023186 0.92256675 -27.515259 52.859181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92259569-0.92256675) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dl = 184.376739999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92259569-0.92256675) × R
    2.89399999999773e-05 × 6371000     		dr = 184.376739999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48027980--0.48023186) × cos(0.92259569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603752982905571 × 6371000     		do = 184.401701581021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48027980--0.48023186) × cos(0.92256675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.603776052794774 × 6371000     		du = 184.408747719002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92259569)-sin(0.92256675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603752982905571-0.603776052794774)×R²
    abs(-0.48023186--0.48027980)×2.30698892023096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30698892023096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30698892023096e-05×40589641000000     		ar = 34000.0341622177m²