Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55516 / 14900
↖ ↑ ↗
← N 79.910930°
W 27.520752°		 ← 53.49 m → N 79.910930°
W 27.518006°		 →
↑
53.52 m
↓
↑
53.52 m
↓
N 79.910448°
W 27.520752°		 ← 53.50 m →
2 863 m²		 N 79.910448°
W 27.518006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423557281494141 y=0.113681793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423557281494141 × 217)
    floor (0.423557281494141 × 131072)
    floor (55516.5)     		tx = 55516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113681793212891 × 217)
    floor (0.113681793212891 × 131072)
    floor (14900.5)     		ty = 14900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55516 / 14900 ti = "17/55516/14900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55516/14900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55516 ÷ 217
    55516 ÷ 131072     		x = 0.423553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14900 ÷ 217
    14900 ÷ 131072     		y = 0.113677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48032773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113677978515625 × 2 - 1) × π
    0.77264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42733284916116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48032773} λ = -0.48032773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42733284916116))-π/2
    2×atan(11.3286265940416)-π/2
    2×1.48275257720081-π/2
    2.96550515440161-1.57079632675     		φ = 1.39470883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48032773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39470883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.910930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55516 KachelY 14900 -0.48032773 1.39470883 -27.520752 79.910930
    Oben rechts KachelX + 1 55517 KachelY 14900 -0.48027980 1.39470883 -27.518006 79.910930
    Unten links KachelX 55516 KachelY + 1 14901 -0.48032773 1.39470043 -27.520752 79.910448
    Unten rechts KachelX + 1 55517 KachelY + 1 14901 -0.48027980 1.39470043 -27.518006 79.910448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39470883-1.39470043) × R
    8.39999999979746e-06 × 6371000     		dl = 53.5163999987096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39470883-1.39470043) × R
    8.39999999979746e-06 × 6371000     		dr = 53.5163999987096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48032773--0.48027980) × cos(1.39470883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175178921383003 × 6371000     		do = 53.4929910467568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48032773--0.48027980) × cos(1.39470043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175187191484385 × 6371000     		du = 53.4955164217032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39470883)-sin(1.39470043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175178921383003-0.175187191484385)×R²
    abs(-0.48027980--0.48032773)×8.27010138207407e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.27010138207407e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.27010138207407e-06×40589641000000     		ar = 2862.81988033441m²