Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55516 / 14650
↖ ↑ ↗
← N 80.030508°
W 27.520752°		 ← 52.87 m → N 80.030508°
W 27.518006°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.030033°
W 27.520752°		 ← 52.87 m →
2 796 m²		 N 80.030033°
W 27.518006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423557281494141 y=0.111774444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423557281494141 × 217)
    floor (0.423557281494141 × 131072)
    floor (55516.5)     		tx = 55516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111774444580078 × 217)
    floor (0.111774444580078 × 131072)
    floor (14650.5)     		ty = 14650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55516 / 14650 ti = "17/55516/14650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55516/14650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55516 ÷ 217
    55516 ÷ 131072     		x = 0.423553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14650 ÷ 217
    14650 ÷ 131072     		y = 0.111770629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423553466796875 × 2 - 1) × π
    -0.15289306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48032773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111770629882812 × 2 - 1) × π
    0.776458740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.43931707406618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48032773} λ = -0.48032773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43931707406618))-π/2
    2×atan(11.4652081805661)-π/2
    2×1.48379609992637-π/2
    2.96759219985275-1.57079632675     		φ = 1.39679587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48032773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.520752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39679587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.030508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55516 KachelY 14650 -0.48032773 1.39679587 -27.520752 80.030508
    Oben rechts KachelX + 1 55517 KachelY 14650 -0.48027980 1.39679587 -27.518006 80.030508
    Unten links KachelX 55516 KachelY + 1 14651 -0.48032773 1.39678757 -27.520752 80.030033
    Unten rechts KachelX + 1 55517 KachelY + 1 14651 -0.48027980 1.39678757 -27.518006 80.030033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39679587-1.39678757) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39679587-1.39678757) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48032773--0.48027980) × cos(1.39679587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173123774062097 × 6371000     		do = 52.8654270888956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48032773--0.48027980) × cos(1.39678757) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.173131948726761 × 6371000     		du = 52.8679233210919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39679587)-sin(1.39678757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173123774062097-0.173131948726761)×R²
    abs(-0.48027980--0.48032773)×8.17466466382366e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.17466466382366e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.17466466382366e-06×40589641000000     		ar = 2795.5527781129m²