Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55515 / 44458
↖ ↑ ↗
← N 49.990084°
W 27.523498°		 ← 196.36 m → N 49.990084°
W 27.520752°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
N 49.988318°
W 27.523498°		 ← 196.37 m →
38 558 m²		 N 49.988318°
W 27.520752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423549652099609 y=0.339191436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423549652099609 × 217)
    floor (0.423549652099609 × 131072)
    floor (55515.5)     		tx = 55515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339191436767578 × 217)
    floor (0.339191436767578 × 131072)
    floor (44458.5)     		ty = 44458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55515 / 44458 ti = "17/55515/44458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55515/44458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55515 ÷ 217
    55515 ÷ 131072     		x = 0.423545837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44458 ÷ 217
    44458 ÷ 131072     		y = 0.339187622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423545837402344 × 2 - 1) × π
    -0.152908325195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.48037567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339187622070312 × 2 - 1) × π
    0.321624755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01041397019154
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48037567} λ = -0.48037567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01041397019154))-π/2
    2×atan(2.74673784728611)-π/2
    2×1.22164394231835-π/2
    2.44328788463671-1.57079632675     		φ = 0.87249156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48037567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.523498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87249156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.990084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55515 KachelY 44458 -0.48037567 0.87249156 -27.523498 49.990084
    Oben rechts KachelX + 1 55516 KachelY 44458 -0.48032773 0.87249156 -27.520752 49.990084
    Unten links KachelX 55515 KachelY + 1 44459 -0.48037567 0.87246074 -27.523498 49.988318
    Unten rechts KachelX + 1 55516 KachelY + 1 44459 -0.48032773 0.87246074 -27.520752 49.988318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87249156-0.87246074) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dl = 196.354220000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87249156-0.87246074) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dr = 196.354220000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48037567--0.48032773) × cos(0.87249156) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642920176304963 × 6371000     		do = 196.364370608745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48037567--0.48032773) × cos(0.87246074) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642943782060435 × 6371000     		du = 196.371580414078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87249156)-sin(0.87246074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642920176304963-0.642943782060435)×R²
    abs(-0.48032773--0.48037567)×2.36057554726665e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36057554726665e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36057554726665e-05×40589641000000     		ar = 38557.6806677247m²