Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55514 / 44519
↖ ↑ ↗
← N 49.882248°
W 27.526245°		 ← 196.80 m → N 49.882248°
W 27.523498°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
N 49.880478°
W 27.526245°		 ← 196.81 m →
38 732 m²		 N 49.880478°
W 27.523498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423542022705078 y=0.339656829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423542022705078 × 217)
    floor (0.423542022705078 × 131072)
    floor (55514.5)     		tx = 55514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339656829833984 × 217)
    floor (0.339656829833984 × 131072)
    floor (44519.5)     		ty = 44519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55514 / 44519 ti = "17/55514/44519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55514/44519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55514 ÷ 217
    55514 ÷ 131072     		x = 0.423538208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44519 ÷ 217
    44519 ÷ 131072     		y = 0.339653015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423538208007812 × 2 - 1) × π
    -0.152923583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48042361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339653015136719 × 2 - 1) × π
    0.320693969726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.00748981931472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48042361} λ = -0.48042361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00748981931472))-π/2
    2×atan(2.73871770317207)-π/2
    2×1.22070289162774-π/2
    2.44140578325548-1.57079632675     		φ = 0.87060946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48042361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.526245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87060946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.882248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55514 KachelY 44519 -0.48042361 0.87060946 -27.526245 49.882248
    Oben rechts KachelX + 1 55515 KachelY 44519 -0.48037567 0.87060946 -27.523498 49.882248
    Unten links KachelX 55514 KachelY + 1 44520 -0.48042361 0.87057857 -27.526245 49.880478
    Unten rechts KachelX + 1 55515 KachelY + 1 44520 -0.48037567 0.87057857 -27.523498 49.880478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87060946-0.87057857) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dl = 196.800189999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87060946-0.87057857) × R
    3.08899999998946e-05 × 6371000     		dr = 196.800189999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48042361--0.48037567) × cos(0.87060946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644360599597216 × 6371000     		do = 196.804312958922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48042361--0.48037567) × cos(0.87057857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644384221545915 × 6371000     		du = 196.811527710084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87060946)-sin(0.87057857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644360599597216-0.644384221545915)×R²
    abs(-0.48037567--0.48042361)×2.3621948699426e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3621948699426e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3621948699426e-05×40589641000000     		ar = 38731.8361183679m²