Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55512 / 42946
↖ ↑ ↗
← N 52.586363°
W 27.531738°		 ← 185.57 m → N 52.586363°
W 27.528991°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.584695°
W 27.531738°		 ← 185.57 m →
34 428 m²		 N 52.584695°
W 27.528991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423526763916016 y=0.327655792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423526763916016 × 217)
    floor (0.423526763916016 × 131072)
    floor (55512.5)     		tx = 55512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327655792236328 × 217)
    floor (0.327655792236328 × 131072)
    floor (42946.5)     		ty = 42946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55512 / 42946 ti = "17/55512/42946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55512/42946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55512 ÷ 217
    55512 ÷ 131072     		x = 0.42352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42946 ÷ 217
    42946 ÷ 131072     		y = 0.327651977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42352294921875 × 2 - 1) × π
    -0.1529541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48051948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327651977539062 × 2 - 1) × π
    0.344696044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08289456241707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48051948} λ = -0.48051948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08289456241707))-π/2
    2×atan(2.95321545772182)-π/2
    2×1.24430075524591-π/2
    2.48860151049182-1.57079632675     		φ = 0.91780518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48051948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.531738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91780518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.586363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55512 KachelY 42946 -0.48051948 0.91780518 -27.531738 52.586363
    Oben rechts KachelX + 1 55513 KachelY 42946 -0.48047154 0.91780518 -27.528991 52.586363
    Unten links KachelX 55512 KachelY + 1 42947 -0.48051948 0.91777606 -27.531738 52.584695
    Unten rechts KachelX + 1 55513 KachelY + 1 42947 -0.48047154 0.91777606 -27.528991 52.584695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91780518-0.91777606) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91780518-0.91777606) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48051948--0.48047154) × cos(0.91780518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607564898400779 × 6371000     		do = 185.565958692176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48051948--0.48047154) × cos(0.91777606) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6075880272867 × 6371000     		du = 185.573022849274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91780518)-sin(0.91777606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607564898400779-0.6075880272867)×R²
    abs(-0.48047154--0.48051948)×2.31288859212642e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31288859212642e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31288859212642e-05×40589641000000     		ar = 34427.505134768m²