Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55511 / 14647
↖ ↑ ↗
← N 80.031935°
W 27.534485°		 ← 52.87 m → N 80.031935°
W 27.531738°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.031459°
W 27.534485°		 ← 52.87 m →
2 796 m²		 N 80.031459°
W 27.531738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423519134521484 y=0.111751556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423519134521484 × 217)
    floor (0.423519134521484 × 131072)
    floor (55511.5)     		tx = 55511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111751556396484 × 217)
    floor (0.111751556396484 × 131072)
    floor (14647.5)     		ty = 14647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55511 / 14647 ti = "17/55511/14647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55511/14647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55511 ÷ 217
    55511 ÷ 131072     		x = 0.423515319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14647 ÷ 217
    14647 ÷ 131072     		y = 0.111747741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423515319824219 × 2 - 1) × π
    -0.152969360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.48056742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111747741699219 × 2 - 1) × π
    0.776504516601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.43946088476504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48056742} λ = -0.48056742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43946088476504))-π/2
    2×atan(11.4668571187318)-π/2
    2×1.48380854757007-π/2
    2.96761709514013-1.57079632675     		φ = 1.39682077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48056742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.534485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39682077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.031935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55511 KachelY 14647 -0.48056742 1.39682077 -27.534485 80.031935
    Oben rechts KachelX + 1 55512 KachelY 14647 -0.48051948 1.39682077 -27.531738 80.031935
    Unten links KachelX 55511 KachelY + 1 14648 -0.48056742 1.39681247 -27.534485 80.031459
    Unten rechts KachelX + 1 55512 KachelY + 1 14648 -0.48051948 1.39681247 -27.531738 80.031459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39682077-1.39681247) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dl = 52.8792999997523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39682077-1.39681247) × R
    8.29999999996112e-06 × 6371000     		dr = 52.8792999997523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48056742--0.48051948) × cos(1.39682077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173099249996549 × 6371000     		do = 52.8689665236674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48056742--0.48051948) × cos(1.39681247) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.17310742469699 × 6371000     		du = 52.871463287599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39682077)-sin(1.39681247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173099249996549-0.17310742469699)×R²
    abs(-0.48051948--0.48056742)×8.17470044164881e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.17470044164881e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.17470044164881e-06×40589641000000     		ar = 2795.7399551703m²