Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55510 / 42957
↖ ↑ ↗
← N 52.568003°
W 27.537232°		 ← 185.64 m → N 52.568003°
W 27.534485°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
N 52.566334°
W 27.537232°		 ← 185.65 m →
34 454 m²		 N 52.566334°
W 27.534485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423511505126953 y=0.327739715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423511505126953 × 217)
    floor (0.423511505126953 × 131072)
    floor (55510.5)     		tx = 55510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327739715576172 × 217)
    floor (0.327739715576172 × 131072)
    floor (42957.5)     		ty = 42957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55510 / 42957 ti = "17/55510/42957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55510/42957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55510 ÷ 217
    55510 ÷ 131072     		x = 0.423507690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42957 ÷ 217
    42957 ÷ 131072     		y = 0.327735900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    -0.152984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48061536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327735900878906 × 2 - 1) × π
    0.344528198242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08236725652125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48061536} λ = -0.48061536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08236725652125))-π/2
    2×atan(2.95165862030018)-π/2
    2×1.24414053542336-π/2
    2.48828107084672-1.57079632675     		φ = 0.91748474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48061536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.537232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91748474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.568003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55510 KachelY 42957 -0.48061536 0.91748474 -27.537232 52.568003
    Oben rechts KachelX + 1 55511 KachelY 42957 -0.48056742 0.91748474 -27.534485 52.568003
    Unten links KachelX 55510 KachelY + 1 42958 -0.48061536 0.91745561 -27.537232 52.566334
    Unten rechts KachelX + 1 55511 KachelY + 1 42958 -0.48056742 0.91745561 -27.534485 52.566334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91748474-0.91745561) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dl = 185.587230000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91748474-0.91745561) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dr = 185.587230000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48061536--0.48056742) × cos(0.91748474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607819383094669 × 6371000     		do = 185.643684867911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48061536--0.48056742) × cos(0.91745561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607842514250553 × 6371000     		du = 185.650749718314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91748474)-sin(0.91745561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607819383094669-0.607842514250553)×R²
    abs(-0.48056742--0.48061536)×2.31311558847036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31311558847036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31311558847036e-05×40589641000000     		ar = 34453.7528172925m²