Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55510 / 42949
↖ ↑ ↗
← N 52.581357°
W 27.537232°		 ← 185.59 m → N 52.581357°
W 27.534485°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.579688°
W 27.537232°		 ← 185.59 m →
34 431 m²		 N 52.579688°
W 27.534485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423511505126953 y=0.327678680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423511505126953 × 217)
    floor (0.423511505126953 × 131072)
    floor (55510.5)     		tx = 55510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327678680419922 × 217)
    floor (0.327678680419922 × 131072)
    floor (42949.5)     		ty = 42949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55510 / 42949 ti = "17/55510/42949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55510/42949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55510 ÷ 217
    55510 ÷ 131072     		x = 0.423507690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42949 ÷ 217
    42949 ÷ 131072     		y = 0.327674865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423507690429688 × 2 - 1) × π
    -0.152984619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48061536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327674865722656 × 2 - 1) × π
    0.344650268554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.08275075171821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48061536} λ = -0.48061536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08275075171821))-π/2
    2×atan(2.95279078427998)-π/2
    2×1.24425706558469-π/2
    2.48851413116937-1.57079632675     		φ = 0.91771780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48061536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.537232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91771780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.581357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55510 KachelY 42949 -0.48061536 0.91771780 -27.537232 52.581357
    Oben rechts KachelX + 1 55511 KachelY 42949 -0.48056742 0.91771780 -27.534485 52.581357
    Unten links KachelX 55510 KachelY + 1 42950 -0.48061536 0.91768868 -27.537232 52.579688
    Unten rechts KachelX + 1 55511 KachelY + 1 42950 -0.48056742 0.91768868 -27.534485 52.579688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91771780-0.91768868) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91771780-0.91768868) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48061536--0.48056742) × cos(0.91771780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607634299397205 × 6371000     		do = 185.587155542651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48061536--0.48056742) × cos(0.91768868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607657426737056 × 6371000     		du = 185.594219227539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91771780)-sin(0.91768868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607634299397205-0.607657426737056)×R²
    abs(-0.48056742--0.48061536)×2.31273398513254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31273398513254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31273398513254e-05×40589641000000     		ar = 34431.4376053281m²