Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55509 / 42790
↖ ↑ ↗
← N 52.845913°
W 27.539978°		 ← 184.43 m → N 52.845913°
W 27.537232°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.844253°
W 27.539978°		 ← 184.43 m →
34 028 m²		 N 52.844253°
W 27.537232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423503875732422 y=0.326465606689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423503875732422 × 217)
    floor (0.423503875732422 × 131072)
    floor (55509.5)     		tx = 55509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326465606689453 × 217)
    floor (0.326465606689453 × 131072)
    floor (42790.5)     		ty = 42790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55509 / 42790 ti = "17/55509/42790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55509/42790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55509 ÷ 217
    55509 ÷ 131072     		x = 0.423500061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42790 ÷ 217
    42790 ÷ 131072     		y = 0.326461791992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423500061035156 × 2 - 1) × π
    -0.152999877929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.48066329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326461791992188 × 2 - 1) × π
    0.347076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0903727187578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48066329} λ = -0.48066329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0903727187578))-π/2
    2×atan(2.9753828469184)-π/2
    2×1.246565746786-π/2
    2.49313149357201-1.57079632675     		φ = 0.92233517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48066329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.539978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92233517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.845913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55509 KachelY 42790 -0.48066329 0.92233517 -27.539978 52.845913
    Oben rechts KachelX + 1 55510 KachelY 42790 -0.48061536 0.92233517 -27.537232 52.845913
    Unten links KachelX 55509 KachelY + 1 42791 -0.48066329 0.92230621 -27.539978 52.844253
    Unten rechts KachelX + 1 55510 KachelY + 1 42791 -0.48061536 0.92230621 -27.537232 52.844253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92233517-0.92230621) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92233517-0.92230621) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48066329--0.48061536) × cos(0.92233517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603960641523257 × 6371000     		do = 184.426647535757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48066329--0.48061536) × cos(0.92230621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.603983722799558 × 6371000     		du = 184.433695681143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92233517)-sin(0.92230621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603960641523257-0.603983722799558)×R²
    abs(-0.48061536--0.48066329)×2.30812763009069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30812763009069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30812763009069e-05×40589641000000     		ar = 34028.1338936823m²