Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55508 / 42794
↖ ↑ ↗
← N 52.839277°
W 27.542725°		 ← 184.49 m → N 52.839277°
W 27.539978°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.837617°
W 27.542725°		 ← 184.50 m →
34 040 m²		 N 52.837617°
W 27.539978°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423496246337891 y=0.326496124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423496246337891 × 217)
    floor (0.423496246337891 × 131072)
    floor (55508.5)     		tx = 55508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326496124267578 × 217)
    floor (0.326496124267578 × 131072)
    floor (42794.5)     		ty = 42794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55508 / 42794 ti = "17/55508/42794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55508/42794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55508 ÷ 217
    55508 ÷ 131072     		x = 0.423492431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42794 ÷ 217
    42794 ÷ 131072     		y = 0.326492309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423492431640625 × 2 - 1) × π
    -0.15301513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48071123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326492309570312 × 2 - 1) × π
    0.347015380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09018097115932
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48071123} λ = -0.48071123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09018097115932))-π/2
    2×atan(2.97481237909761)-π/2
    2×1.24650783835976-π/2
    2.49301567671952-1.57079632675     		φ = 0.92221935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48071123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.542725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92221935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.839277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55508 KachelY 42794 -0.48071123 0.92221935 -27.542725 52.839277
    Oben rechts KachelX + 1 55509 KachelY 42794 -0.48066329 0.92221935 -27.539978 52.839277
    Unten links KachelX 55508 KachelY + 1 42795 -0.48071123 0.92219039 -27.542725 52.837617
    Unten rechts KachelX + 1 55509 KachelY + 1 42795 -0.48066329 0.92219039 -27.539978 52.837617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92221935-0.92219039) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92221935-0.92219039) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48071123--0.48066329) × cos(0.92221935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6040529476502 × 6371000     		do = 184.493318535123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48071123--0.48066329) × cos(0.92219039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604076026900534 × 6371000     		du = 184.500367532235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92221935)-sin(0.92219039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6040529476502-0.604076026900534)×R²
    abs(-0.48066329--0.48071123)×2.30792503344013e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30792503344013e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30792503344013e-05×40589641000000     		ar = 34040.4350488536m²