Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55507 / 42793
↖ ↑ ↗
← N 52.840936°
W 27.545471°		 ← 184.49 m → N 52.840936°
W 27.542725°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.839277°
W 27.545471°		 ← 184.49 m →
34 039 m²		 N 52.839277°
W 27.542725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423488616943359 y=0.326488494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423488616943359 × 217)
    floor (0.423488616943359 × 131072)
    floor (55507.5)     		tx = 55507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326488494873047 × 217)
    floor (0.326488494873047 × 131072)
    floor (42793.5)     		ty = 42793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55507 / 42793 ti = "17/55507/42793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55507/42793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55507 ÷ 217
    55507 ÷ 131072     		x = 0.423484802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42793 ÷ 217
    42793 ÷ 131072     		y = 0.326484680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423484802246094 × 2 - 1) × π
    -0.153030395507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48075917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326484680175781 × 2 - 1) × π
    0.347030639648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.09022890805894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48075917} λ = -0.48075917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09022890805894))-π/2
    2×atan(2.97495498579805)-π/2
    2×1.24652231629597-π/2
    2.49304463259193-1.57079632675     		φ = 0.92224831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48075917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.545471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92224831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.840936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55507 KachelY 42793 -0.48075917 0.92224831 -27.545471 52.840936
    Oben rechts KachelX + 1 55508 KachelY 42793 -0.48071123 0.92224831 -27.542725 52.840936
    Unten links KachelX 55507 KachelY + 1 42794 -0.48075917 0.92221935 -27.545471 52.839277
    Unten rechts KachelX + 1 55508 KachelY + 1 42794 -0.48071123 0.92221935 -27.542725 52.839277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92224831-0.92221935) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92224831-0.92221935) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48075917--0.48071123) × cos(0.92224831) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.604029867893257 × 6371000     		do = 184.486269383493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48075917--0.48071123) × cos(0.92221935) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6040529476502 × 6371000     		du = 184.493318535336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92224831)-sin(0.92221935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604029867893257-0.6040529476502)×R²
    abs(-0.48071123--0.48075917)×2.30797569426011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30797569426011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30797569426011e-05×40589641000000     		ar = 34039.1344654754m²