Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55505 / 42915
↖ ↑ ↗
← N 52.638064°
W 27.550964°		 ← 185.35 m → N 52.638064°
W 27.548218°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
N 52.636397°
W 27.550964°		 ← 185.35 m →
34 351 m²		 N 52.636397°
W 27.548218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423473358154297 y=0.327419281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423473358154297 × 217)
    floor (0.423473358154297 × 131072)
    floor (55505.5)     		tx = 55505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327419281005859 × 217)
    floor (0.327419281005859 × 131072)
    floor (42915.5)     		ty = 42915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55505 / 42915 ti = "17/55505/42915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55505/42915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55505 ÷ 217
    55505 ÷ 131072     		x = 0.423469543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42915 ÷ 217
    42915 ÷ 131072     		y = 0.327415466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423469543457031 × 2 - 1) × π
    -0.153060913085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48085504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327415466308594 × 2 - 1) × π
    0.345169067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.08438060630529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48085504} λ = -0.48085504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08438060630529))-π/2
    2×atan(2.9576073279511)-π/2
    2×1.24475192292091-π/2
    2.48950384584181-1.57079632675     		φ = 0.91870752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48085504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.550964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91870752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.638064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55505 KachelY 42915 -0.48085504 0.91870752 -27.550964 52.638064
    Oben rechts KachelX + 1 55506 KachelY 42915 -0.48080710 0.91870752 -27.548218 52.638064
    Unten links KachelX 55505 KachelY + 1 42916 -0.48085504 0.91867843 -27.550964 52.636397
    Unten rechts KachelX + 1 55506 KachelY + 1 42916 -0.48080710 0.91867843 -27.548218 52.636397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91870752-0.91867843) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dl = 185.332389999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91870752-0.91867843) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dr = 185.332389999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48085504--0.48080710) × cos(0.91870752) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606847949526437 × 6371000     		do = 185.346984051688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48085504--0.48080710) × cos(0.91867843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		du = 185.354045799385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91870752)-sin(0.91867843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606847949526437-0.606871070523697)×R²
    abs(-0.48080710--0.48085504)×2.31209972593183e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31209972593183e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31209972593183e-05×40589641000000     		ar = 34351.4539212878m²