Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55504 / 42736
↖ ↑ ↗
← N 52.935397°
W 27.553711°		 ← 184.08 m → N 52.935397°
W 27.550964°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.933741°
W 27.553711°		 ← 184.09 m →
33 883 m²		 N 52.933741°
W 27.550964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423465728759766 y=0.326053619384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423465728759766 × 217)
    floor (0.423465728759766 × 131072)
    floor (55504.5)     		tx = 55504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326053619384766 × 217)
    floor (0.326053619384766 × 131072)
    floor (42736.5)     		ty = 42736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55504 / 42736 ti = "17/55504/42736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55504/42736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55504 ÷ 217
    55504 ÷ 131072     		x = 0.4234619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42736 ÷ 217
    42736 ÷ 131072     		y = 0.3260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48090298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3260498046875 × 2 - 1) × π
    0.347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09296131133728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48090298} λ = -0.48090298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09296131133728))-π/2
    2×atan(2.98309487822416)-π/2
    2×1.24734664465912-π/2
    2.49469328931825-1.57079632675     		φ = 0.92389696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48090298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.553711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92389696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.935397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55504 KachelY 42736 -0.48090298 0.92389696 -27.553711 52.935397
    Oben rechts KachelX + 1 55505 KachelY 42736 -0.48085504 0.92389696 -27.550964 52.935397
    Unten links KachelX 55504 KachelY + 1 42737 -0.48090298 0.92386807 -27.553711 52.933741
    Unten rechts KachelX + 1 55505 KachelY + 1 42737 -0.48085504 0.92386807 -27.550964 52.933741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92389696-0.92386807) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92389696-0.92386807) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48090298--0.48085504) × cos(0.92389696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602715136724911 × 6371000     		do = 184.084716643286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48090298--0.48085504) × cos(0.92386807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602738189434644 × 6371000     		du = 184.091757534215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92389696)-sin(0.92386807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602715136724911-0.602738189434644)×R²
    abs(-0.48085504--0.48090298)×2.30527097327959e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30527097327959e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30527097327959e-05×40589641000000     		ar = 33882.9477212053m²