Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55503 / 42735
↖ ↑ ↗
← N 52.937052°
W 27.556457°		 ← 184.04 m → N 52.937052°
W 27.553711°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.935397°
W 27.556457°		 ← 184.05 m →
33 875 m²		 N 52.935397°
W 27.553711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423458099365234 y=0.326045989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423458099365234 × 217)
    floor (0.423458099365234 × 131072)
    floor (55503.5)     		tx = 55503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326045989990234 × 217)
    floor (0.326045989990234 × 131072)
    floor (42735.5)     		ty = 42735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55503 / 42735 ti = "17/55503/42735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55503/42735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55503 ÷ 217
    55503 ÷ 131072     		x = 0.423454284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42735 ÷ 217
    42735 ÷ 131072     		y = 0.326042175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423454284667969 × 2 - 1) × π
    -0.153091430664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.48095091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326042175292969 × 2 - 1) × π
    0.347915649414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0930092482369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48095091} λ = -0.48095091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0930092482369))-π/2
    2×atan(2.98323788197144)-π/2
    2×1.24736109053029-π/2
    2.49472218106057-1.57079632675     		φ = 0.92392585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48095091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.556457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92392585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.937052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55503 KachelY 42735 -0.48095091 0.92392585 -27.556457 52.937052
    Oben rechts KachelX + 1 55504 KachelY 42735 -0.48090298 0.92392585 -27.553711 52.937052
    Unten links KachelX 55503 KachelY + 1 42736 -0.48095091 0.92389696 -27.556457 52.935397
    Unten rechts KachelX + 1 55504 KachelY + 1 42736 -0.48090298 0.92389696 -27.553711 52.935397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92392585-0.92389696) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dl = 184.058190000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92392585-0.92389696) × R
    2.88900000000591e-05 × 6371000     		dr = 184.058190000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48095091--0.48090298) × cos(0.92392585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602692083512132 × 6371000     		do = 184.039278086307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48095091--0.48090298) × cos(0.92389696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.602715136724911 × 6371000     		du = 184.046317662159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92392585)-sin(0.92389696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602692083512132-0.602715136724911)×R²
    abs(-0.48090298--0.48095091)×2.30532127784011e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30532127784011e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30532127784011e-05×40589641000000     		ar = 33874.5842616602m²