Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55502 / 42918
↖ ↑ ↗
← N 52.633063°
W 27.559204°		 ← 185.37 m → N 52.633063°
W 27.556457°		 →
↑
185.33 m
↓
↑
185.33 m
↓
N 52.631396°
W 27.559204°		 ← 185.38 m →
34 355 m²		 N 52.631396°
W 27.556457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423450469970703 y=0.327442169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423450469970703 × 217)
    floor (0.423450469970703 × 131072)
    floor (55502.5)     		tx = 55502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327442169189453 × 217)
    floor (0.327442169189453 × 131072)
    floor (42918.5)     		ty = 42918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55502 / 42918 ti = "17/55502/42918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55502/42918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55502 ÷ 217
    55502 ÷ 131072     		x = 0.423446655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42918 ÷ 217
    42918 ÷ 131072     		y = 0.327438354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423446655273438 × 2 - 1) × π
    -0.153106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48099885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327438354492188 × 2 - 1) × π
    0.345123291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08423679560643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48099885} λ = -0.48099885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08423679560643))-π/2
    2×atan(2.95718202295675)-π/2
    2×1.2447082848131-π/2
    2.4894165696262-1.57079632675     		φ = 0.91862024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48099885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.559204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91862024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.633063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55502 KachelY 42918 -0.48099885 0.91862024 -27.559204 52.633063
    Oben rechts KachelX + 1 55503 KachelY 42918 -0.48095091 0.91862024 -27.556457 52.633063
    Unten links KachelX 55502 KachelY + 1 42919 -0.48099885 0.91859115 -27.559204 52.631396
    Unten rechts KachelX + 1 55503 KachelY + 1 42919 -0.48095091 0.91859115 -27.556457 52.631396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91862024-0.91859115) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dl = 185.332389999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91862024-0.91859115) × R
    2.90899999999539e-05 × 6371000     		dr = 185.332389999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48099885--0.48095091) × cos(0.91862024) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		do = 185.368171251421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48099885--0.48095091) × cos(0.91859115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606940438381562 × 6371000     		du = 185.375232528491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91862024)-sin(0.91859115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606917318925192-0.606940438381562)×R²
    abs(-0.48095091--0.48099885)×2.31194563700132e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31194563700132e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31194563700132e-05×40589641000000     		ar = 34355.3805519985m²