Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55501 / 15551
↖ ↑ ↗
← N 79.592845°
W 27.561951°		 ← 55.17 m → N 79.592845°
W 27.559204°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.592349°
W 27.561951°		 ← 55.18 m →
3 044 m²		 N 79.592349°
W 27.559204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423442840576172 y=0.118648529052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423442840576172 × 217)
    floor (0.423442840576172 × 131072)
    floor (55501.5)     		tx = 55501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118648529052734 × 217)
    floor (0.118648529052734 × 131072)
    floor (15551.5)     		ty = 15551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55501 / 15551 ti = "17/55501/15551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55501/15551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55501 ÷ 217
    55501 ÷ 131072     		x = 0.423439025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15551 ÷ 217
    15551 ÷ 131072     		y = 0.118644714355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423439025878906 × 2 - 1) × π
    -0.153121948242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48104679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118644714355469 × 2 - 1) × π
    0.762710571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.39612592750851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48104679} λ = -0.48104679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39612592750851))-π/2
    2×atan(10.9805544098662)-π/2
    2×1.47997676956443-π/2
    2.95995353912886-1.57079632675     		φ = 1.38915721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48104679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.561951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38915721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.592845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55501 KachelY 15551 -0.48104679 1.38915721 -27.561951 79.592845
    Oben rechts KachelX + 1 55502 KachelY 15551 -0.48099885 1.38915721 -27.559204 79.592845
    Unten links KachelX 55501 KachelY + 1 15552 -0.48104679 1.38914855 -27.561951 79.592349
    Unten rechts KachelX + 1 55502 KachelY + 1 15552 -0.48099885 1.38914855 -27.559204 79.592349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38915721-1.38914855) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38915721-1.38914855) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48104679--0.48099885) × cos(1.38915721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180641966924445 × 6371000     		do = 55.1727064229817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48104679--0.48099885) × cos(1.38914855) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180650484451326 × 6371000     		du = 55.1753078949324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38915721)-sin(1.38914855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180641966924445-0.180650484451326)×R²
    abs(-0.48099885--0.48104679)×8.5175268811355e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.5175268811355e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.5175268811355e-06×40589641000000     		ar = 3044.1077726855m²