Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55500 / 44572
↖ ↑ ↗
← N 49.788358°
W 27.564697°		 ← 197.15 m → N 49.788358°
W 27.561951°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
N 49.786584°
W 27.564697°		 ← 197.15 m →
38 874 m²		 N 49.786584°
W 27.561951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423435211181641 y=0.340061187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423435211181641 × 217)
    floor (0.423435211181641 × 131072)
    floor (55500.5)     		tx = 55500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340061187744141 × 217)
    floor (0.340061187744141 × 131072)
    floor (44572.5)     		ty = 44572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55500 / 44572 ti = "17/55500/44572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55500/44572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55500 ÷ 217
    55500 ÷ 131072     		x = 0.423431396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44572 ÷ 217
    44572 ÷ 131072     		y = 0.340057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423431396484375 × 2 - 1) × π
    -0.15313720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48109472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340057373046875 × 2 - 1) × π
    0.31988525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00494916363486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48109472} λ = -0.48109472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00494916363486))-π/2
    2×atan(2.73176839612029)-π/2
    2×1.21988354708948-π/2
    2.43976709417896-1.57079632675     		φ = 0.86897077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48109472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.564697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86897077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.788358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55500 KachelY 44572 -0.48109472 0.86897077 -27.564697 49.788358
    Oben rechts KachelX + 1 55501 KachelY 44572 -0.48104679 0.86897077 -27.561951 49.788358
    Unten links KachelX 55500 KachelY + 1 44573 -0.48109472 0.86893982 -27.564697 49.786584
    Unten rechts KachelX + 1 55501 KachelY + 1 44573 -0.48104679 0.86893982 -27.561951 49.786584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86897077-0.86893982) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86897077-0.86893982) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48109472--0.48104679) × cos(0.86897077) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645612875835976 × 6371000     		do = 197.145658359304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48109472--0.48104679) × cos(0.86893982) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.645636510954095 × 6371000     		du = 197.152875626952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86897077)-sin(0.86893982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645612875835976-0.645636510954095)×R²
    abs(-0.48104679--0.48109472)×2.36351181182037e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36351181182037e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36351181182037e-05×40589641000000     		ar = 38874.3754844254m²