Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 555 / 746
↖ ↑ ↗
← S 63.233628°
E 15.117188°		 ← 17.605 km → S 63.233628°
E 15.468750°		 →
↑
17.557 km
↓
↑
17.557 km
↓
S 63.391522°
E 15.117188°		 ← 17.509 km →
308.250 km²		 S 63.391522°
E 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54248046875 y=0.72900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54248046875 × 210)
    floor (0.54248046875 × 1024)
    floor (555.5)     		tx = 555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72900390625 × 210)
    floor (0.72900390625 × 1024)
    floor (746.5)     		ty = 746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 555 / 746 ti = "10/555/746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/555/746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 555 ÷ 210
    555 ÷ 1024     		x = 0.5419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 746 ÷ 210
    746 ÷ 1024     		y = 0.728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5419921875 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728515625 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26384470} λ = 0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43580601741992))-π/2
    2×atan(0.237923516210063)-π/2
    2×0.233580665244477-π/2
    0.467161330488953-1.57079632675     		φ = -1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 555 KachelY 746 0.26384470 -1.10363500 15.117188 -63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 556 KachelY 746 0.26998062 -1.10363500 15.468750 -63.233628
    Unten links KachelX 555 KachelY + 1 747 0.26384470 -1.10639077 15.117188 -63.391522
    Unten rechts KachelX + 1 556 KachelY + 1 747 0.26998062 -1.10639077 15.468750 -63.391522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10363500--1.10639077) × R
    0.00275577000000005 × 6371000     		dl = 17557.0106700003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10363500--1.10639077) × R
    0.00275577000000005 × 6371000     		dr = 17557.0106700003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26384470-0.26998062) × cos(-1.10363500) × R
    0.00613592000000002 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 17605.1984855215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26384470-0.26998062) × cos(-1.10639077) × R
    0.00613592000000002 × 0.447891396092727 × 6371000     		du = 17508.9464132468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10363500)-sin(-1.10639077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.447891396092727)×R²
    abs(0.26998062-0.26384470)×0.00246219698264161×R²
    0.00613592000000002×0.00246219698264161×6371000²
    0.00613592000000002×0.00246219698264161×40589641000000     		ar = 308249903.405535m²