Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 555 / 487
↖ ↑ ↗
← N  8.754795°
E 15.117188°		 ← 38.636 km → N  8.754795°
E 15.468750°		 →
↑
38.654 km
↓
↑
38.654 km
↓
N  8.407168°
E 15.117188°		 ← 38.672 km →
1 494.15 km²		 N  8.407168°
E 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54248046875 y=0.47607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54248046875 × 210)
    floor (0.54248046875 × 1024)
    floor (555.5)     		tx = 555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.47607421875 × 210)
    floor (0.47607421875 × 1024)
    floor (487.5)     		ty = 487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 555 / 487 ti = "10/555/487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/555/487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 555 ÷ 210
    555 ÷ 1024     		x = 0.5419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 487 ÷ 210
    487 ÷ 1024     		y = 0.4755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5419921875 × 2 - 1) × π
    0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4755859375 × 2 - 1) × π
    0.048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.15339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26384470} λ = 0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.15339807878418))-π/2
    2×atan(1.1657889624384)-π/2
    2×0.861798159842111-π/2
    1.72359631968422-1.57079632675     		φ = 0.15279999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.15279999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 8.754795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 555 KachelY 487 0.26384470 0.15279999 15.117188 8.754795
    Oben rechts KachelX + 1 556 KachelY 487 0.26998062 0.15279999 15.468750 8.754795
    Unten links KachelX 555 KachelY + 1 488 0.26384470 0.14673277 15.117188 8.407168
    Unten rechts KachelX + 1 556 KachelY + 1 488 0.26998062 0.14673277 15.468750 8.407168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.15279999-0.14673277) × R
    0.00606721999999998 × 6371000     		dl = 38654.2586199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.15279999-0.14673277) × R
    0.00606721999999998 × 6371000     		dr = 38654.2586199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26384470-0.26998062) × cos(0.15279999) × R
    0.00613592000000002 × 0.988348777253828 × 6371000     		do = 38636.4773458444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26384470-0.26998062) × cos(0.14673277) × R
    0.00613592000000002 × 0.989254048358907 × 6371000     		du = 38671.8661552892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.15279999)-sin(0.14673277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988348777253828-0.989254048358907)×R²
    abs(0.26998062-0.26384470)×0.000905271105078653×R²
    0.00613592000000002×0.000905271105078653×6371000²
    0.00613592000000002×0.000905271105078653×40589641000000     		ar = 1494152935.04949m²