Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55499 / 44355
↖ ↑ ↗
← N 50.171621°
W 27.567444°		 ← 195.62 m → N 50.171621°
W 27.564697°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
N 50.169862°
W 27.567444°		 ← 195.63 m →
38 275 m²		 N 50.169862°
W 27.564697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423427581787109 y=0.338405609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423427581787109 × 217)
    floor (0.423427581787109 × 131072)
    floor (55499.5)     		tx = 55499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338405609130859 × 217)
    floor (0.338405609130859 × 131072)
    floor (44355.5)     		ty = 44355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55499 / 44355 ti = "17/55499/44355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55499/44355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55499 ÷ 217
    55499 ÷ 131072     		x = 0.423423767089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44355 ÷ 217
    44355 ÷ 131072     		y = 0.338401794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423423767089844 × 2 - 1) × π
    -0.153152465820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.48114266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338401794433594 × 2 - 1) × π
    0.323196411132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.01535147085241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48114266} λ = -0.48114266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01535147085241))-π/2
    2×atan(2.76033340363614)-π/2
    2×1.22322815159603-π/2
    2.44645630319205-1.57079632675     		φ = 0.87565998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48114266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.567444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87565998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.171621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55499 KachelY 44355 -0.48114266 0.87565998 -27.567444 50.171621
    Oben rechts KachelX + 1 55500 KachelY 44355 -0.48109472 0.87565998 -27.564697 50.171621
    Unten links KachelX 55499 KachelY + 1 44356 -0.48114266 0.87562927 -27.567444 50.169862
    Unten rechts KachelX + 1 55500 KachelY + 1 44356 -0.48109472 0.87562927 -27.564697 50.169862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87565998-0.87562927) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dl = 195.653409999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87565998-0.87562927) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dr = 195.653409999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48114266--0.48109472) × cos(0.87565998) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640490155238844 × 6371000     		do = 195.622179626637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48114266--0.48109472) × cos(0.87562927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64051373918435 × 6371000     		du = 195.629382770645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87565998)-sin(0.87562927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640490155238844-0.64051373918435)×R²
    abs(-0.48109472--0.48114266)×2.35839455062781e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35839455062781e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35839455062781e-05×40589641000000     		ar = 38274.8511786127m²