Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55498 / 42734
↖ ↑ ↗
← N 52.938707°
W 27.570191°		 ← 184.07 m → N 52.938707°
W 27.567444°		 →
↑
184.06 m
↓
↑
184.06 m
↓
N 52.937052°
W 27.570191°		 ← 184.08 m →
33 880 m²		 N 52.937052°
W 27.567444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423419952392578 y=0.326038360595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423419952392578 × 217)
    floor (0.423419952392578 × 131072)
    floor (55498.5)     		tx = 55498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326038360595703 × 217)
    floor (0.326038360595703 × 131072)
    floor (42734.5)     		ty = 42734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55498 / 42734 ti = "17/55498/42734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55498/42734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55498 ÷ 217
    55498 ÷ 131072     		x = 0.423416137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42734 ÷ 217
    42734 ÷ 131072     		y = 0.326034545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423416137695312 × 2 - 1) × π
    -0.153167724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48119060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326034545898438 × 2 - 1) × π
    0.347930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09305718513652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48119060} λ = -0.48119060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09305718513652))-π/2
    2×atan(2.98338089257405)-π/2
    2×1.24737553584887-π/2
    2.49475107169775-1.57079632675     		φ = 0.92395474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48119060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.570191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92395474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.938707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55498 KachelY 42734 -0.48119060 0.92395474 -27.570191 52.938707
    Oben rechts KachelX + 1 55499 KachelY 42734 -0.48114266 0.92395474 -27.567444 52.938707
    Unten links KachelX 55498 KachelY + 1 42735 -0.48119060 0.92392585 -27.570191 52.937052
    Unten rechts KachelX + 1 55499 KachelY + 1 42735 -0.48114266 0.92392585 -27.567444 52.937052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92395474-0.92392585) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dl = 184.05818999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92395474-0.92392585) × R
    2.88899999999481e-05 × 6371000     		dr = 184.05818999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48119060--0.48114266) × cos(0.92395474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602669029796328 × 6371000     		do = 184.070634400718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48119060--0.48114266) × cos(0.92392585) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.602692083512132 × 6371000     		du = 184.077675598927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92395474)-sin(0.92392585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602669029796328-0.602692083512132)×R²
    abs(-0.48114266--0.48119060)×2.30537158043553e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30537158043553e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30537158043553e-05×40589641000000     		ar = 33880.3557972371m²