Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55497 / 42745
↖ ↑ ↗
← N 52.920496°
W 27.572937°		 ← 184.15 m → N 52.920496°
W 27.570191°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
N 52.918839°
W 27.572937°		 ← 184.16 m →
33 918 m²		 N 52.918839°
W 27.570191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423412322998047 y=0.326122283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423412322998047 × 217)
    floor (0.423412322998047 × 131072)
    floor (55497.5)     		tx = 55497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326122283935547 × 217)
    floor (0.326122283935547 × 131072)
    floor (42745.5)     		ty = 42745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55497 / 42745 ti = "17/55497/42745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55497/42745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55497 ÷ 217
    55497 ÷ 131072     		x = 0.423408508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42745 ÷ 217
    42745 ÷ 131072     		y = 0.326118469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423408508300781 × 2 - 1) × π
    -0.153182983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.48123854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326118469238281 × 2 - 1) × π
    0.347763061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0925298792407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48123854} λ = -0.48123854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0925298792407))-π/2
    2×atan(2.9818081529338)-π/2
    2×1.24721660695112-π/2
    2.49443321390223-1.57079632675     		φ = 0.92363689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48123854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.572937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92363689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.920496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55497 KachelY 42745 -0.48123854 0.92363689 -27.572937 52.920496
    Oben rechts KachelX + 1 55498 KachelY 42745 -0.48119060 0.92363689 -27.570191 52.920496
    Unten links KachelX 55497 KachelY + 1 42746 -0.48123854 0.92360798 -27.572937 52.918839
    Unten rechts KachelX + 1 55498 KachelY + 1 42746 -0.48119060 0.92360798 -27.570191 52.918839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92363689-0.92360798) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dl = 184.18561000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92363689-0.92360798) × R
    2.89100000000486e-05 × 6371000     		dr = 184.18561000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48123854--0.48119060) × cos(0.92363689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602922640868544 × 6371000     		do = 184.148093749908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48123854--0.48119060) × cos(0.92360798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.602945705004602 × 6371000     		du = 184.155138130731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92363689)-sin(0.92360798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602922640868544-0.602945705004602)×R²
    abs(-0.48119060--0.48123854)×2.30641360580153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30641360580153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30641360580153e-05×40589641000000     		ar = 33918.0777168621m²