Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55496 / 18018
↖ ↑ ↗
← N 78.294930°
W 27.575683°		 ← 61.95 m → N 78.294930°
W 27.572937°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.294372°
W 27.575683°		 ← 61.95 m →
3 840 m²		 N 78.294372°
W 27.572937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423404693603516 y=0.137470245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423404693603516 × 217)
    floor (0.423404693603516 × 131072)
    floor (55496.5)     		tx = 55496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137470245361328 × 217)
    floor (0.137470245361328 × 131072)
    floor (18018.5)     		ty = 18018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55496 / 18018 ti = "17/55496/18018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55496/18018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55496 ÷ 217
    55496 ÷ 131072     		x = 0.42340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18018 ÷ 217
    18018 ÷ 131072     		y = 0.137466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.1531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48128647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137466430664062 × 2 - 1) × π
    0.725067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27786559614583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48128647} λ = -0.48128647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27786559614583))-π/2
    2×atan(9.75583527905885)-π/2
    2×1.46865031734186-π/2
    2.93730063468371-1.57079632675     		φ = 1.36650431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48128647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.575683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36650431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.294930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55496 KachelY 18018 -0.48128647 1.36650431 -27.575683 78.294930
    Oben rechts KachelX + 1 55497 KachelY 18018 -0.48123854 1.36650431 -27.572937 78.294930
    Unten links KachelX 55496 KachelY + 1 18019 -0.48128647 1.36649458 -27.575683 78.294372
    Unten rechts KachelX + 1 55497 KachelY + 1 18019 -0.48123854 1.36649458 -27.572937 78.294372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36650431-1.36649458) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36650431-1.36649458) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48128647--0.48123854) × cos(1.36650431) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202873950210851 × 6371000     		do = 61.9500012705423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48128647--0.48123854) × cos(1.36649458) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.202883477864548 × 6371000     		du = 61.9529106542163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36650431)-sin(1.36649458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202873950210851-0.202883477864548)×R²
    abs(-0.48123854--0.48128647)×9.52765369677255e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.52765369677255e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.52765369677255e-06×40589641000000     		ar = 3840.36022329055m²