Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55492 / 44356
↖ ↑ ↗
← N 50.169862°
W 27.586670°		 ← 195.63 m → N 50.169862°
W 27.583923°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.168103°
W 27.586670°		 ← 195.64 m →
38 264 m²		 N 50.168103°
W 27.583923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423374176025391 y=0.338413238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423374176025391 × 217)
    floor (0.423374176025391 × 131072)
    floor (55492.5)     		tx = 55492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338413238525391 × 217)
    floor (0.338413238525391 × 131072)
    floor (44356.5)     		ty = 44356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55492 / 44356 ti = "17/55492/44356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55492/44356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55492 ÷ 217
    55492 ÷ 131072     		x = 0.423370361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44356 ÷ 217
    44356 ÷ 131072     		y = 0.338409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423370361328125 × 2 - 1) × π
    -0.15325927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48147822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338409423828125 × 2 - 1) × π
    0.32318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01530353395279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48147822} λ = -0.48147822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01530353395279))-π/2
    2×atan(2.76020108498235)-π/2
    2×1.22321279975724-π/2
    2.44642559951449-1.57079632675     		φ = 0.87562927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48147822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.586670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87562927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.169862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55492 KachelY 44356 -0.48147822 0.87562927 -27.586670 50.169862
    Oben rechts KachelX + 1 55493 KachelY 44356 -0.48143028 0.87562927 -27.583923 50.169862
    Unten links KachelX 55492 KachelY + 1 44357 -0.48147822 0.87559857 -27.586670 50.168103
    Unten rechts KachelX + 1 55493 KachelY + 1 44357 -0.48143028 0.87559857 -27.583923 50.168103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87562927-0.87559857) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87562927-0.87559857) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48147822--0.48143028) × cos(0.87562927) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64051373918435 × 6371000     		do = 195.629382770645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48147822--0.48143028) × cos(0.87559857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640537314846515 × 6371000     		du = 195.636583384708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87562927)-sin(0.87559857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64051373918435-0.640537314846515)×R²
    abs(-0.48143028--0.48147822)×2.35756621648209e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35756621648209e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35756621648209e-05×40589641000000     		ar = 38263.7964732961m²