Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55490 / 44354
↖ ↑ ↗
← N 50.173380°
W 27.592163°		 ← 195.57 m → N 50.173380°
W 27.589417°		 →
↑
195.59 m
↓
↑
195.59 m
↓
N 50.171621°
W 27.592163°		 ← 195.58 m →
38 253 m²		 N 50.171621°
W 27.589417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423358917236328 y=0.338397979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423358917236328 × 217)
    floor (0.423358917236328 × 131072)
    floor (55490.5)     		tx = 55490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338397979736328 × 217)
    floor (0.338397979736328 × 131072)
    floor (44354.5)     		ty = 44354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55490 / 44354 ti = "17/55490/44354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55490/44354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55490 ÷ 217
    55490 ÷ 131072     		x = 0.423355102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44354 ÷ 217
    44354 ÷ 131072     		y = 0.338394165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423355102539062 × 2 - 1) × π
    -0.153289794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48157409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338394165039062 × 2 - 1) × π
    0.323211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01539940775203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48157409} λ = -0.48157409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01539940775203))-π/2
    2×atan(2.76046572863303)-π/2
    2×1.22324350286966-π/2
    2.44648700573932-1.57079632675     		φ = 0.87569068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48157409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.592163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87569068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.173380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55490 KachelY 44354 -0.48157409 0.87569068 -27.592163 50.173380
    Oben rechts KachelX + 1 55491 KachelY 44354 -0.48152616 0.87569068 -27.589417 50.173380
    Unten links KachelX 55490 KachelY + 1 44355 -0.48157409 0.87565998 -27.592163 50.171621
    Unten rechts KachelX + 1 55491 KachelY + 1 44355 -0.48152616 0.87565998 -27.589417 50.171621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87569068-0.87565998) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dl = 195.589700000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87569068-0.87565998) × R
    3.07000000000501e-05 × 6371000     		dr = 195.589700000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48157409--0.48152616) × cos(0.87569068) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640466578369149 × 6371000     		do = 195.574174518077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48157409--0.48152616) × cos(0.87565998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640490155238844 × 6371000     		du = 195.581373998868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87569068)-sin(0.87565998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640466578369149-0.640490155238844)×R²
    abs(-0.48152616--0.48157409)×2.35768696946748e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35768696946748e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35768696946748e-05×40589641000000     		ar = 38252.9981968309m²