Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55480 / 42904
↖ ↑ ↗
← N 52.656394°
W 27.619629°		 ← 185.23 m → N 52.656394°
W 27.616883°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
N 52.654728°
W 27.619629°		 ← 185.24 m →
34 318 m²		 N 52.654728°
W 27.616883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55480 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423282623291016 y=0.327335357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423282623291016 × 217)
    floor (0.423282623291016 × 131072)
    floor (55480.5)     		tx = 55480
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327335357666016 × 217)
    floor (0.327335357666016 × 131072)
    floor (42904.5)     		ty = 42904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55480 / 42904 ti = "17/55480/42904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55480/42904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55480 ÷ 217
    55480 ÷ 131072     		x = 0.42327880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42904 ÷ 217
    42904 ÷ 131072     		y = 0.32733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42327880859375 × 2 - 1) × π
    -0.1534423828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48205346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32733154296875 × 2 - 1) × π
    0.3453369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08490791220111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48205346} λ = -0.48205346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08490791220111))-π/2
    2×atan(2.95916730298852)-π/2
    2×1.24491188664549-π/2
    2.48982377329097-1.57079632675     		φ = 0.91902745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48205346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.619629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91902745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.656394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55480 KachelY 42904 -0.48205346 0.91902745 -27.619629 52.656394
    Oben rechts KachelX + 1 55481 KachelY 42904 -0.48200553 0.91902745 -27.616883 52.656394
    Unten links KachelX 55480 KachelY + 1 42905 -0.48205346 0.91899837 -27.619629 52.654728
    Unten rechts KachelX + 1 55481 KachelY + 1 42905 -0.48200553 0.91899837 -27.616883 52.654728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91902745-0.91899837) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91902745-0.91899837) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48205346--0.48200553) × cos(0.91902745) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606593632368516 × 6371000     		do = 185.230662965023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48205346--0.48200553) × cos(0.91899837) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606616751062546 × 6371000     		du = 185.237722536362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91902745)-sin(0.91899837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606593632368516-0.606616751062546)×R²
    abs(-0.48200553--0.48205346)×2.31186940299333e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31186940299333e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31186940299333e-05×40589641000000     		ar = 34318.0943841662m²