Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55475 / 14853
↖ ↑ ↗
← N 79.933518°
W 27.633362°		 ← 53.39 m → N 79.933518°
W 27.630615°		 →
↑
53.33 m
↓
↑
53.33 m
↓
N 79.933038°
W 27.633362°		 ← 53.39 m →
2 847 m²		 N 79.933038°
W 27.630615°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55475 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423244476318359 y=0.113323211669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423244476318359 × 217)
    floor (0.423244476318359 × 131072)
    floor (55475.5)     		tx = 55475
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113323211669922 × 217)
    floor (0.113323211669922 × 131072)
    floor (14853.5)     		ty = 14853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55475 / 14853 ti = "17/55475/14853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55475/14853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55475 ÷ 217
    55475 ÷ 131072     		x = 0.423240661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14853 ÷ 217
    14853 ÷ 131072     		y = 0.113319396972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423240661621094 × 2 - 1) × π
    -0.153518676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48229315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113319396972656 × 2 - 1) × π
    0.773361206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.42958588344331
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48229315} λ = -0.48229315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42958588344331))-π/2
    2×atan(11.3541791527138)-π/2
    2×1.48294970054623-π/2
    2.96589940109245-1.57079632675     		φ = 1.39510307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48229315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.633362°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39510307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.933518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55475 KachelY 14853 -0.48229315 1.39510307 -27.633362 79.933518
    Oben rechts KachelX + 1 55476 KachelY 14853 -0.48224521 1.39510307 -27.630615 79.933518
    Unten links KachelX 55475 KachelY + 1 14854 -0.48229315 1.39509470 -27.633362 79.933038
    Unten rechts KachelX + 1 55476 KachelY + 1 14854 -0.48224521 1.39509470 -27.630615 79.933038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39510307-1.39509470) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dl = 53.3252699998712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39510307-1.39509470) × R
    8.36999999997978e-06 × 6371000     		dr = 53.3252699998712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48229315--0.48224521) × cos(1.39510307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174790764064507 × 6371000     		do = 53.3855984595942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48229315--0.48224521) × cos(1.39509470) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174799005207261 × 6371000     		du = 53.3881155167185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39510307)-sin(1.39509470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174790764064507-0.174799005207261)×R²
    abs(-0.48224521--0.48229315)×8.24114275452259e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.24114275452259e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.24114275452259e-06×40589641000000     		ar = 2846.86856351545m²