Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55473 / 14876
↖ ↑ ↗
← N 79.922470°
W 27.638855°		 ← 53.44 m → N 79.922470°
W 27.636108°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.921990°
W 27.638855°		 ← 53.45 m →
2 853 m²		 N 79.921990°
W 27.636108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423229217529297 y=0.113498687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423229217529297 × 217)
    floor (0.423229217529297 × 131072)
    floor (55473.5)     		tx = 55473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113498687744141 × 217)
    floor (0.113498687744141 × 131072)
    floor (14876.5)     		ty = 14876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55473 / 14876 ti = "17/55473/14876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55473/14876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55473 ÷ 217
    55473 ÷ 131072     		x = 0.423225402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14876 ÷ 217
    14876 ÷ 131072     		y = 0.113494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423225402832031 × 2 - 1) × π
    -0.153549194335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48238902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113494873046875 × 2 - 1) × π
    0.77301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42848333475204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48238902} λ = -0.48238902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42848333475204))-π/2
    2×atan(11.3416675159605)-π/2
    2×1.48285329056438-π/2
    2.96570658112876-1.57079632675     		φ = 1.39491025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48238902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.638855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39491025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.922470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55473 KachelY 14876 -0.48238902 1.39491025 -27.638855 79.922470
    Oben rechts KachelX + 1 55474 KachelY 14876 -0.48234108 1.39491025 -27.636108 79.922470
    Unten links KachelX 55473 KachelY + 1 14877 -0.48238902 1.39490187 -27.638855 79.921990
    Unten rechts KachelX + 1 55474 KachelY + 1 14877 -0.48234108 1.39490187 -27.636108 79.921990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39491025-1.39490187) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39491025-1.39490187) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48238902--0.48234108) × cos(1.39491025) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174980612465923 × 6371000     		do = 53.4435830480847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48238902--0.48234108) × cos(1.39490187) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174988863172127 × 6371000     		du = 53.4461030261324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39491025)-sin(1.39490187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174980612465923-0.174988863172127)×R²
    abs(-0.48234108--0.48238902)×8.25070620333324e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.25070620333324e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.25070620333324e-06×40589641000000     		ar = 2853.36565587633m²