Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55473 / 14855
↖ ↑ ↗
← N 79.932558°
W 27.638855°		 ← 53.39 m → N 79.932558°
W 27.636108°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.932078°
W 27.638855°		 ← 53.39 m →
2 851 m²		 N 79.932078°
W 27.636108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423229217529297 y=0.113338470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423229217529297 × 217)
    floor (0.423229217529297 × 131072)
    floor (55473.5)     		tx = 55473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113338470458984 × 217)
    floor (0.113338470458984 × 131072)
    floor (14855.5)     		ty = 14855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55473 / 14855 ti = "17/55473/14855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55473/14855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55473 ÷ 217
    55473 ÷ 131072     		x = 0.423225402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14855 ÷ 217
    14855 ÷ 131072     		y = 0.113334655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423225402832031 × 2 - 1) × π
    -0.153549194335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.48238902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113334655761719 × 2 - 1) × π
    0.773330688476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.42949000964407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48238902} λ = -0.48238902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42949000964407))-π/2
    2×atan(11.3530906366021)-π/2
    2×1.48294132122363-π/2
    2.96588264244726-1.57079632675     		φ = 1.39508632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48238902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.638855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39508632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.932558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55473 KachelY 14855 -0.48238902 1.39508632 -27.638855 79.932558
    Oben rechts KachelX + 1 55474 KachelY 14855 -0.48234108 1.39508632 -27.636108 79.932558
    Unten links KachelX 55473 KachelY + 1 14856 -0.48238902 1.39507794 -27.638855 79.932078
    Unten rechts KachelX + 1 55474 KachelY + 1 14856 -0.48234108 1.39507794 -27.636108 79.932078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39508632-1.39507794) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dl = 53.3889800008986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39508632-1.39507794) × R
    8.38000000014105e-06 × 6371000     		dr = 53.3889800008986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48238902--0.48234108) × cos(1.39508632) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174807256183797 × 6371000     		do = 53.3906355773325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48238902--0.48234108) × cos(1.39507794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174815507148057 × 6371000     		du = 53.3931556341973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39508632)-sin(1.39507794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174807256183797-0.174815507148057)×R²
    abs(-0.48234108--0.48238902)×8.25096425982608e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.25096425982608e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.25096425982608e-06×40589641000000     		ar = 2850.53884665308m²