Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55472 / 42897
↖ ↑ ↗
← N 52.668055°
W 27.641602°		 ← 185.22 m → N 52.668055°
W 27.638855°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
N 52.666389°
W 27.641602°		 ← 185.23 m →
34 304 m²		 N 52.666389°
W 27.638855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423221588134766 y=0.327281951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423221588134766 × 217)
    floor (0.423221588134766 × 131072)
    floor (55472.5)     		tx = 55472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327281951904297 × 217)
    floor (0.327281951904297 × 131072)
    floor (42897.5)     		ty = 42897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55472 / 42897 ti = "17/55472/42897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55472/42897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55472 ÷ 217
    55472 ÷ 131072     		x = 0.4232177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42897 ÷ 217
    42897 ÷ 131072     		y = 0.327278137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4232177734375 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48243696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327278137207031 × 2 - 1) × π
    0.345443725585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08524347049845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48243696} λ = -0.48243696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08524347049845))-π/2
    2×atan(2.96016044274908)-π/2
    2×1.24501364683445-π/2
    2.49002729366889-1.57079632675     		φ = 0.91923097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48243696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.641602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91923097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.668055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55472 KachelY 42897 -0.48243696 0.91923097 -27.641602 52.668055
    Oben rechts KachelX + 1 55473 KachelY 42897 -0.48238902 0.91923097 -27.638855 52.668055
    Unten links KachelX 55472 KachelY + 1 42898 -0.48243696 0.91920190 -27.641602 52.666389
    Unten rechts KachelX + 1 55473 KachelY + 1 42898 -0.48238902 0.91920190 -27.638855 52.666389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91923097-0.91920190) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91923097-0.91920190) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48243696--0.48238902) × cos(0.91923097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606431818953837 × 6371000     		do = 185.219887063615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48243696--0.48238902) × cos(0.91920190) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606454933286318 × 6371000     		du = 185.226946775717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91923097)-sin(0.91920190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606431818953837-0.606454933286318)×R²
    abs(-0.48238902--0.48243696)×2.31143324813665e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31143324813665e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31143324813665e-05×40589641000000     		ar = 34304.297376434m²