Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55471 / 42895
↖ ↑ ↗
← N 52.671386°
W 27.644348°		 ← 185.17 m → N 52.671386°
W 27.641602°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
N 52.669721°
W 27.644348°		 ← 185.17 m →
34 295 m²		 N 52.669721°
W 27.641602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423213958740234 y=0.327266693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423213958740234 × 217)
    floor (0.423213958740234 × 131072)
    floor (55471.5)     		tx = 55471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327266693115234 × 217)
    floor (0.327266693115234 × 131072)
    floor (42895.5)     		ty = 42895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55471 / 42895 ti = "17/55471/42895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55471/42895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55471 ÷ 217
    55471 ÷ 131072     		x = 0.423210144042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42895 ÷ 217
    42895 ÷ 131072     		y = 0.327262878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423210144042969 × 2 - 1) × π
    -0.153579711914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.48248489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327262878417969 × 2 - 1) × π
    0.345474243164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08533934429769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48248489} λ = -0.48248489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08533934429769))-π/2
    2×atan(2.9604442581821)-π/2
    2×1.24504271618775-π/2
    2.4900854323755-1.57079632675     		φ = 0.91928911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48248489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.644348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91928911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.671386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55471 KachelY 42895 -0.48248489 0.91928911 -27.644348 52.671386
    Oben rechts KachelX + 1 55472 KachelY 42895 -0.48243696 0.91928911 -27.641602 52.671386
    Unten links KachelX 55471 KachelY + 1 42896 -0.48248489 0.91926004 -27.644348 52.669721
    Unten rechts KachelX + 1 55472 KachelY + 1 42896 -0.48243696 0.91926004 -27.641602 52.669721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91928911-0.91926004) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dl = 185.204970000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91928911-0.91926004) × R
    2.90700000000754e-05 × 6371000     		dr = 185.204970000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48248489--0.48243696) × cos(0.91928911) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606385588751471 × 6371000     		do = 185.167134343793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48248489--0.48243696) × cos(0.91926004) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.606408704108881 × 6371000     		du = 185.174192896256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91928911)-sin(0.91926004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606385588751471-0.606408704108881)×R²
    abs(-0.48243696--0.48248489)×2.31153574103971e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31153574103971e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31153574103971e-05×40589641000000     		ar = 34294.5272031185m²