Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55469 / 18179
↖ ↑ ↗
← N 78.204879°
W 27.649841°		 ← 62.43 m → N 78.204879°
W 27.647095°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.204318°
W 27.649841°		 ← 62.44 m →
3 898 m²		 N 78.204318°
W 27.647095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423198699951172 y=0.138698577880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423198699951172 × 217)
    floor (0.423198699951172 × 131072)
    floor (55469.5)     		tx = 55469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138698577880859 × 217)
    floor (0.138698577880859 × 131072)
    floor (18179.5)     		ty = 18179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55469 / 18179 ti = "17/55469/18179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55469/18179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55469 ÷ 217
    55469 ÷ 131072     		x = 0.423194885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18179 ÷ 217
    18179 ÷ 131072     		y = 0.138694763183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423194885253906 × 2 - 1) × π
    -0.153610229492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.48258077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138694763183594 × 2 - 1) × π
    0.722610473632812 × 3.1415926535     		Φ = 2.270147755307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48258077} λ = -0.48258077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.270147755307))-π/2
    2×atan(9.68083110257545)-π/2
    2×1.46786447753455-π/2
    2.9357289550691-1.57079632675     		φ = 1.36493263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48258077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.649841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36493263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.204879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55469 KachelY 18179 -0.48258077 1.36493263 -27.649841 78.204879
    Oben rechts KachelX + 1 55470 KachelY 18179 -0.48253283 1.36493263 -27.647095 78.204879
    Unten links KachelX 55469 KachelY + 1 18180 -0.48258077 1.36492283 -27.649841 78.204318
    Unten rechts KachelX + 1 55470 KachelY + 1 18180 -0.48253283 1.36492283 -27.647095 78.204318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36493263-1.36492283) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dl = 62.4357999996734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36493263-1.36492283) × R
    9.79999999994874e-06 × 6371000     		dr = 62.4357999996734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48258077--0.48253283) × cos(1.36493263) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20441269570627 × 6371000     		do = 62.4328988514415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48258077--0.48253283) × cos(1.36492283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204422288767485 × 6371000     		du = 62.4358288192619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36493263)-sin(1.36492283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20441269570627-0.204422288767485)×R²
    abs(-0.48253283--0.48258077)×9.59306121470216e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.59306121470216e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.59306121470216e-06×40589641000000     		ar = 3898.13945342728m²