Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55468 / 42868
↖ ↑ ↗
← N 52.716331°
W 27.652588°		 ← 185.02 m → N 52.716331°
W 27.649841°		 →
↑
184.95 m
↓
↑
184.95 m
↓
N 52.714667°
W 27.652588°		 ← 185.02 m →
34 219 m²		 N 52.714667°
W 27.649841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423191070556641 y=0.327060699462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423191070556641 × 217)
    floor (0.423191070556641 × 131072)
    floor (55468.5)     		tx = 55468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327060699462891 × 217)
    floor (0.327060699462891 × 131072)
    floor (42868.5)     		ty = 42868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55468 / 42868 ti = "17/55468/42868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55468/42868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55468 ÷ 217
    55468 ÷ 131072     		x = 0.423187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42868 ÷ 217
    42868 ÷ 131072     		y = 0.327056884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.15362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48262871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327056884765625 × 2 - 1) × π
    0.34588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08663364058743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48262871} λ = -0.48262871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08663364058743))-π/2
    2×atan(2.96427843094399)-π/2
    2×1.24543493559052-π/2
    2.49086987118103-1.57079632675     		φ = 0.92007354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48262871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.652588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92007354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.716331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55468 KachelY 42868 -0.48262871 0.92007354 -27.652588 52.716331
    Oben rechts KachelX + 1 55469 KachelY 42868 -0.48258077 0.92007354 -27.649841 52.716331
    Unten links KachelX 55468 KachelY + 1 42869 -0.48262871 0.92004451 -27.652588 52.714667
    Unten rechts KachelX + 1 55469 KachelY + 1 42869 -0.48258077 0.92004451 -27.649841 52.714667
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92007354-0.92004451) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dl = 184.950129999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92007354-0.92004451) × R
    2.90299999999855e-05 × 6371000     		dr = 184.950129999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48262871--0.48258077) × cos(0.92007354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605761646462201 × 6371000     		do = 185.015199134429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48262871--0.48258077) × cos(0.92004451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.605784743815259 × 6371000     		du = 185.022253660579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92007354)-sin(0.92004451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605761646462201-0.605784743815259)×R²
    abs(-0.48258077--0.48262871)×2.30973530588319e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30973530588319e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30973530588319e-05×40589641000000     		ar = 34219.23750198m²