Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55468 / 14852
↖ ↑ ↗
← N 79.933998°
W 27.652588°		 ← 53.38 m → N 79.933998°
W 27.649841°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.933518°
W 27.652588°		 ← 53.39 m →
2 850 m²		 N 79.933518°
W 27.649841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423191070556641 y=0.113315582275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423191070556641 × 217)
    floor (0.423191070556641 × 131072)
    floor (55468.5)     		tx = 55468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113315582275391 × 217)
    floor (0.113315582275391 × 131072)
    floor (14852.5)     		ty = 14852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55468 / 14852 ti = "17/55468/14852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55468/14852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55468 ÷ 217
    55468 ÷ 131072     		x = 0.423187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14852 ÷ 217
    14852 ÷ 131072     		y = 0.113311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423187255859375 × 2 - 1) × π
    -0.15362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48262871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113311767578125 × 2 - 1) × π
    0.77337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42963382034293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48262871} λ = -0.48262871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42963382034293))-π/2
    2×atan(11.354723449906)-π/2
    2×1.48295388991091-π/2
    2.96590777982182-1.57079632675     		φ = 1.39511145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48262871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.652588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39511145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.933998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55468 KachelY 14852 -0.48262871 1.39511145 -27.652588 79.933998
    Oben rechts KachelX + 1 55469 KachelY 14852 -0.48258077 1.39511145 -27.649841 79.933998
    Unten links KachelX 55468 KachelY + 1 14853 -0.48262871 1.39510307 -27.652588 79.933518
    Unten rechts KachelX + 1 55469 KachelY + 1 14853 -0.48258077 1.39510307 -27.649841 79.933518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39511145-1.39510307) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39511145-1.39510307) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48262871--0.48258077) × cos(1.39511145) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174782513063436 × 6371000     		do = 53.3830783914866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48262871--0.48258077) × cos(1.39510307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.174790764064507 × 6371000     		du = 53.3855984595942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39511145)-sin(1.39510307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174782513063436-0.174790764064507)×R²
    abs(-0.48258077--0.48262871)×8.25100107040844e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.25100107040844e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.25100107040844e-06×40589641000000     		ar = 2850.13537640006m²