Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55464 / 14856
↖ ↑ ↗
← N 79.932078°
W 27.663574°		 ← 53.38 m → N 79.932078°
W 27.660828°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.931598°
W 27.663574°		 ← 53.38 m →
2 850 m²		 N 79.931598°
W 27.660828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423160552978516 y=0.113346099853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423160552978516 × 217)
    floor (0.423160552978516 × 131072)
    floor (55464.5)     		tx = 55464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113346099853516 × 217)
    floor (0.113346099853516 × 131072)
    floor (14856.5)     		ty = 14856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55464 / 14856 ti = "17/55464/14856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55464/14856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55464 ÷ 217
    55464 ÷ 131072     		x = 0.42315673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14856 ÷ 217
    14856 ÷ 131072     		y = 0.11334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.1536865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48282045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11334228515625 × 2 - 1) × π
    0.7733154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42944207274445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48282045} λ = -0.48282045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42944207274445))-π/2
    2×atan(11.3525464176801)-π/2
    2×1.4829371312657-π/2
    2.9658742625314-1.57079632675     		φ = 1.39507794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48282045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.663574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39507794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.932078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55464 KachelY 14856 -0.48282045 1.39507794 -27.663574 79.932078
    Oben rechts KachelX + 1 55465 KachelY 14856 -0.48277252 1.39507794 -27.660828 79.932078
    Unten links KachelX 55464 KachelY + 1 14857 -0.48282045 1.39506956 -27.663574 79.931598
    Unten rechts KachelX + 1 55465 KachelY + 1 14857 -0.48277252 1.39506956 -27.660828 79.931598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39507794-1.39506956) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39507794-1.39506956) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48282045--0.48277252) × cos(1.39507794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174815507148057 × 6371000     		do = 53.3820181382427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48282045--0.48277252) × cos(1.39506956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17482375810004 × 6371000     		du = 53.3845376656898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39507794)-sin(1.39506956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174815507148057-0.17482375810004)×R²
    abs(-0.48277252--0.48282045)×8.25095198328518e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.25095198328518e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.25095198328518e-06×40589641000000     		ar = 2850.07875622873m²