Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55461 / 18015
↖ ↑ ↗
← N 78.296601°
W 27.671814°		 ← 61.94 m → N 78.296601°
W 27.669068°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.296044°
W 27.671814°		 ← 61.94 m →
3 836 m²		 N 78.296044°
W 27.669068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55461 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423137664794922 y=0.137447357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423137664794922 × 217)
    floor (0.423137664794922 × 131072)
    floor (55461.5)     		tx = 55461
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137447357177734 × 217)
    floor (0.137447357177734 × 131072)
    floor (18015.5)     		ty = 18015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55461 / 18015 ti = "17/55461/18015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55461/18015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55461 ÷ 217
    55461 ÷ 131072     		x = 0.423133850097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18015 ÷ 217
    18015 ÷ 131072     		y = 0.137443542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423133850097656 × 2 - 1) × π
    -0.153732299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.48296426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137443542480469 × 2 - 1) × π
    0.725112915039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.27800940684469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48296426} λ = -0.48296426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27800940684469))-π/2
    2×atan(9.75723837343588)-π/2
    2×1.46866490403721-π/2
    2.93732980807442-1.57079632675     		φ = 1.36653348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48296426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.671814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36653348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.296601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55461 KachelY 18015 -0.48296426 1.36653348 -27.671814 78.296601
    Oben rechts KachelX + 1 55462 KachelY 18015 -0.48291633 1.36653348 -27.669068 78.296601
    Unten links KachelX 55461 KachelY + 1 18016 -0.48296426 1.36652376 -27.671814 78.296044
    Unten rechts KachelX + 1 55462 KachelY + 1 18016 -0.48291633 1.36652376 -27.669068 78.296044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36653348-1.36652376) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36653348-1.36652376) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48296426--0.48291633) × cos(1.36653348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20284538671874 × 6371000     		do = 61.9412790645358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48296426--0.48291633) × cos(1.36652376) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.202854904637927 × 6371000     		du = 61.9441854756599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36653348)-sin(1.36652376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20284538671874-0.202854904637927)×R²
    abs(-0.48291633--0.48296426)×9.51791918635259e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.51791918635259e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.51791918635259e-06×40589641000000     		ar = 3835.87307166305m²