Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55460 / 14644
↖ ↑ ↗
← N 80.033361°
W 27.674561°		 ← 52.86 m → N 80.033361°
W 27.671814°		 →
↑
52.88 m
↓
↑
52.88 m
↓
N 80.032885°
W 27.674561°		 ← 52.86 m →
2 795 m²		 N 80.032885°
W 27.671814°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423130035400391 y=0.111728668212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423130035400391 × 217)
    floor (0.423130035400391 × 131072)
    floor (55460.5)     		tx = 55460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111728668212891 × 217)
    floor (0.111728668212891 × 131072)
    floor (14644.5)     		ty = 14644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55460 / 14644 ti = "17/55460/14644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55460/14644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55460 ÷ 217
    55460 ÷ 131072     		x = 0.423126220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14644 ÷ 217
    14644 ÷ 131072     		y = 0.111724853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423126220703125 × 2 - 1) × π
    -0.15374755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48301220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111724853515625 × 2 - 1) × π
    0.77655029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4396046954639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48301220} λ = -0.48301220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4396046954639))-π/2
    2×atan(11.4685062940494)-π/2
    2×1.4838209934508-π/2
    2.96764198690161-1.57079632675     		φ = 1.39684566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48301220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.674561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39684566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.033361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55460 KachelY 14644 -0.48301220 1.39684566 -27.674561 80.033361
    Oben rechts KachelX + 1 55461 KachelY 14644 -0.48296426 1.39684566 -27.671814 80.033361
    Unten links KachelX 55460 KachelY + 1 14645 -0.48301220 1.39683736 -27.674561 80.032885
    Unten rechts KachelX + 1 55461 KachelY + 1 14645 -0.48296426 1.39683736 -27.671814 80.032885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39684566-1.39683736) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dl = 52.8793000011669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39684566-1.39683736) × R
    8.30000000018316e-06 × 6371000     		dr = 52.8793000011669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48301220--0.48296426) × cos(1.39684566) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173074735672764 × 6371000     		do = 52.8614792181848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48301220--0.48296426) × cos(1.39683736) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.173082910408964 × 6371000     		du = 52.8639759930381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39684566)-sin(1.39683736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173074735672764-0.173082910408964)×R²
    abs(-0.48296426--0.48301220)×8.17473620021159e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.17473620021159e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.17473620021159e-06×40589641000000     		ar = 2795.34403187271m²