Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55458 / 18208
↖ ↑ ↗
← N 78.188586°
W 27.680053°		 ← 62.50 m → N 78.188586°
W 27.677307°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.188024°
W 27.680053°		 ← 62.51 m →
3 911 m²		 N 78.188024°
W 27.677307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423114776611328 y=0.138919830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423114776611328 × 217)
    floor (0.423114776611328 × 131072)
    floor (55458.5)     		tx = 55458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138919830322266 × 217)
    floor (0.138919830322266 × 131072)
    floor (18208.5)     		ty = 18208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55458 / 18208 ti = "17/55458/18208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55458/18208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55458 ÷ 217
    55458 ÷ 131072     		x = 0.423110961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18208 ÷ 217
    18208 ÷ 131072     		y = 0.138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423110961914062 × 2 - 1) × π
    -0.153778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48310807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138916015625 × 2 - 1) × π
    0.72216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.26875758521802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48310807} λ = -0.48310807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26875758521802))-π/2
    2×atan(9.66738245086271)-π/2
    2×1.46772229660848-π/2
    2.93544459321695-1.57079632675     		φ = 1.36464827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48310807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.680053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36464827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.188586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55458 KachelY 18208 -0.48310807 1.36464827 -27.680053 78.188586
    Oben rechts KachelX + 1 55459 KachelY 18208 -0.48306014 1.36464827 -27.677307 78.188586
    Unten links KachelX 55458 KachelY + 1 18209 -0.48310807 1.36463845 -27.680053 78.188024
    Unten rechts KachelX + 1 55459 KachelY + 1 18209 -0.48306014 1.36463845 -27.677307 78.188024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36464827-1.36463845) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dl = 62.5632200003137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36464827-1.36463845) × R
    9.82000000004923e-06 × 6371000     		dr = 62.5632200003137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48310807--0.48306014) × cos(1.36464827) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204691043119513 × 6371000     		do = 62.5048724497578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48310807--0.48306014) × cos(1.36463845) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204700655187176 × 6371000     		du = 62.507807610252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36464827)-sin(1.36463845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204691043119513-0.204700655187176)×R²
    abs(-0.48306014--0.48310807)×9.61206766350586e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.61206766350586e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.61206766350586e-06×40589641000000     		ar = 3910.5979028138m²