Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55458 / 14631
↖ ↑ ↗
← N 80.039539°
W 27.680053°		 ← 52.82 m → N 80.039539°
W 27.677307°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.039064°
W 27.680053°		 ← 52.82 m →
2 790 m²		 N 80.039064°
W 27.677307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423114776611328 y=0.111629486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423114776611328 × 217)
    floor (0.423114776611328 × 131072)
    floor (55458.5)     		tx = 55458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111629486083984 × 217)
    floor (0.111629486083984 × 131072)
    floor (14631.5)     		ty = 14631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55458 / 14631 ti = "17/55458/14631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55458/14631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55458 ÷ 217
    55458 ÷ 131072     		x = 0.423110961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14631 ÷ 217
    14631 ÷ 131072     		y = 0.111625671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423110961914062 × 2 - 1) × π
    -0.153778076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48310807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111625671386719 × 2 - 1) × π
    0.776748657226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.44022787515896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48310807} λ = -0.48310807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44022787515896))-π/2
    2×atan(11.4756554616813)-π/2
    2×1.48387490523462-π/2
    2.96774981046924-1.57079632675     		φ = 1.39695348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48310807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.680053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39695348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.039539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55458 KachelY 14631 -0.48310807 1.39695348 -27.680053 80.039539
    Oben rechts KachelX + 1 55459 KachelY 14631 -0.48306014 1.39695348 -27.677307 80.039539
    Unten links KachelX 55458 KachelY + 1 14632 -0.48310807 1.39694519 -27.680053 80.039064
    Unten rechts KachelX + 1 55459 KachelY + 1 14632 -0.48306014 1.39694519 -27.677307 80.039064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39695348-1.39694519) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39695348-1.39694519) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48310807--0.48306014) × cos(1.39695348) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.172968541811553 × 6371000     		do = 52.8180250536868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48310807--0.48306014) × cos(1.39694519) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.172976706853336 × 6371000     		du = 52.8205183474206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39695348)-sin(1.39694519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172968541811553-0.172976706853336)×R²
    abs(-0.48306014--0.48310807)×8.16504178269284e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.16504178269284e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.16504178269284e-06×40589641000000     		ar = 2789.6809982813m²