Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55454 / 18212
↖ ↑ ↗
← N 78.186337°
W 27.691040°		 ← 62.52 m → N 78.186337°
W 27.688294°		 →
↑
62.50 m
↓
↑
62.50 m
↓
N 78.185775°
W 27.691040°		 ← 62.52 m →
3 907 m²		 N 78.185775°
W 27.688294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423084259033203 y=0.138950347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423084259033203 × 217)
    floor (0.423084259033203 × 131072)
    floor (55454.5)     		tx = 55454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138950347900391 × 217)
    floor (0.138950347900391 × 131072)
    floor (18212.5)     		ty = 18212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55454 / 18212 ti = "17/55454/18212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55454/18212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55454 ÷ 217
    55454 ÷ 131072     		x = 0.423080444335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18212 ÷ 217
    18212 ÷ 131072     		y = 0.138946533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.423080444335938 × 2 - 1) × π
    -0.153839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.48329982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138946533203125 × 2 - 1) × π
    0.72210693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26856583761954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48329982} λ = -0.48329982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26856583761954))-π/2
    2×atan(9.66552893120382)-π/2
    2×1.46770267025842-π/2
    2.93540534051683-1.57079632675     		φ = 1.36460901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48329982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.691040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36460901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.186337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55454 KachelY 18212 -0.48329982 1.36460901 -27.691040 78.186337
    Oben rechts KachelX + 1 55455 KachelY 18212 -0.48325189 1.36460901 -27.688294 78.186337
    Unten links KachelX 55454 KachelY + 1 18213 -0.48329982 1.36459920 -27.691040 78.185775
    Unten rechts KachelX + 1 55455 KachelY + 1 18213 -0.48325189 1.36459920 -27.688294 78.185775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36460901-1.36459920) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dl = 62.4995099992862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36460901-1.36459920) × R
    9.80999999988796e-06 × 6371000     		dr = 62.4995099992862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48329982--0.48325189) × cos(1.36460901) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204729471695352 × 6371000     		do = 62.5166070776862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48329982--0.48325189) × cos(1.36459920) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.204739073895925 × 6371000     		du = 62.5195392251457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36460901)-sin(1.36459920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204729471695352-0.204739073895925)×R²
    abs(-0.48325189--0.48329982)×9.60220057302785e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.60220057302785e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.60220057302785e-06×40589641000000     		ar = 3907.34893800556m²