Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55420 / 42687
↖ ↑ ↗
← N 53.016436°
W 27.784424°		 ← 183.74 m → N 53.016436°
W 27.781677°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
N 53.014783°
W 27.784424°		 ← 183.75 m →
33 761 m²		 N 53.014783°
W 27.781677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422824859619141 y=0.325679779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422824859619141 × 217)
    floor (0.422824859619141 × 131072)
    floor (55420.5)     		tx = 55420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325679779052734 × 217)
    floor (0.325679779052734 × 131072)
    floor (42687.5)     		ty = 42687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55420 / 42687 ti = "17/55420/42687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55420/42687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55420 ÷ 217
    55420 ÷ 131072     		x = 0.422821044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42687 ÷ 217
    42687 ÷ 131072     		y = 0.325675964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422821044921875 × 2 - 1) × π
    -0.15435791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48492968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325675964355469 × 2 - 1) × π
    0.348648071289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.09531021941866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48492968} λ = -0.48492968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09531021941866))-π/2
    2×atan(2.99011012975618)-π/2
    2×1.24805384268138-π/2
    2.49610768536276-1.57079632675     		φ = 0.92531136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48492968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.784424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92531136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.016436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55420 KachelY 42687 -0.48492968 0.92531136 -27.784424 53.016436
    Oben rechts KachelX + 1 55421 KachelY 42687 -0.48488174 0.92531136 -27.781677 53.016436
    Unten links KachelX 55420 KachelY + 1 42688 -0.48492968 0.92528252 -27.784424 53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 55421 KachelY + 1 42688 -0.48488174 0.92528252 -27.781677 53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92531136-0.92528252) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dl = 183.739640000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92531136-0.92528252) × R
    2.884000000003e-05 × 6371000     		dr = 183.739640000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48492968--0.48488174) × cos(0.92531136) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601585904652859 × 6371000     		do = 183.739820102048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48492968--0.48488174) × cos(0.92528252) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 183.746856309586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92531136)-sin(0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601585904652859-0.601608942028614)×R²
    abs(-0.48488174--0.48492968)×2.30373757551527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30373757551527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30373757551527e-05×40589641000000     		ar = 33760.9348167573m²