Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55419 / 42684
↖ ↑ ↗
← N 53.021392°
W 27.787170°		 ← 183.68 m → N 53.021392°
W 27.784424°		 →
↑
183.74 m
↓
↑
183.74 m
↓
N 53.019740°
W 27.787170°		 ← 183.69 m →
33 750 m²		 N 53.019740°
W 27.784424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55419 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422817230224609 y=0.325656890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422817230224609 × 217)
    floor (0.422817230224609 × 131072)
    floor (55419.5)     		tx = 55419
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325656890869141 × 217)
    floor (0.325656890869141 × 131072)
    floor (42684.5)     		ty = 42684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55419 / 42684 ti = "17/55419/42684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55419/42684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55419 ÷ 217
    55419 ÷ 131072     		x = 0.422813415527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42684 ÷ 217
    42684 ÷ 131072     		y = 0.325653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422813415527344 × 2 - 1) × π
    -0.154373168945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.48497761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325653076171875 × 2 - 1) × π
    0.34869384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09545403011752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48497761} λ = -0.48497761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09545403011752))-π/2
    2×atan(2.9905401705051)-π/2
    2×1.24809709744155-π/2
    2.49619419488311-1.57079632675     		φ = 0.92539787
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48497761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.787170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92539787 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.021392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55419 KachelY 42684 -0.48497761 0.92539787 -27.787170 53.021392
    Oben rechts KachelX + 1 55420 KachelY 42684 -0.48492968 0.92539787 -27.784424 53.021392
    Unten links KachelX 55419 KachelY + 1 42685 -0.48497761 0.92536903 -27.787170 53.019740
    Unten rechts KachelX + 1 55420 KachelY + 1 42685 -0.48492968 0.92536903 -27.784424 53.019740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92539787-0.92536903) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dl = 183.739639999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92539787-0.92536903) × R
    2.88399999999189e-05 × 6371000     		dr = 183.739639999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48497761--0.48492968) × cos(0.92539787) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601516797512073 × 6371000     		do = 183.680390367498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48497761--0.48492968) × cos(0.92536903) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.601539836388696 × 6371000     		du = 183.687425565633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92539787)-sin(0.92536903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601516797512073-0.601539836388696)×R²
    abs(-0.48492968--0.48497761)×2.30388766233602e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30388766233602e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30388766233602e-05×40589641000000     		ar = 33750.0151257752m²